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;;1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有____的量叫做向量,向量的大小称为向量的_____
______.
(2)零向量:始点和终点相同的向量称为零向量,记作___.
(3)单位向量:模等于___的向量.
(4)平行向量:方向相同或_____的非零向量,也叫做共线向量,规定:零向量与任意向量______.
(5)相等的向量:大小相等且方向_____的向量.
(6)相反向量:大小相等且方向_____的向量.;2.向量的线性运算;减法;3.共线向量基本定理
如果a≠0,且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得______.;4.对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.;判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等,与a,b的方向无关.( )
(2)若向量a与b同向,且|a||b|,则ab.( )
(3)若 是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.
( )
(4)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等的向量.( );1.(多选)下列命题正确的是
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.零向量的长度等于0
D.若a=b,b=c,则a=c;;√;;;例1 (1)(多选)下列说法中正确的是
A.单位向量都相等
B.任一向量与它的相反向量不相等
C.若|a|=|b|,则a与b的长度相等,与方向无关
D.若a与b是相反向量,则|a|=|b|;;√;平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等的向量.;跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是
A.向量 的长度与向量 的长度相等
B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
C.两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同
D.两个终点相同的向量,一定是共线向量;;√;题型二;;命题点2 向量的线性运算
例3 (2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记
=m, ,则等于
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n;命题点3 根据向量线性运算求参数;;平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则;求差用向量减法的几何意义.
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值.;跟踪训练2 (1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形,有许多国家的国旗设计都包含五角星,如中华人民共和国国旗.如图,在正五角星中,每个角的角尖为36°,则下列说法正确的是;;√;;+μ=_____.;例5 已知O,A,B是不共线的三点,且 (m,n∈R).
(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;;则A,P,B三点共线.;(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.;;利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b?a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.;√;;√;;;;2.(多选)下列命题中,正确的是
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.在△ABC中, =0
C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等或相反
D.如果非零向量a,b的方向相同或相反,那么a+b的方向与a,b之一的
方向一定相同;1;3.设a,b是平面内两个向量,“|a|=|a+b|”是“|b|=0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件;;1;;1;;1;7.已知向量e1,e2是两个不共线的向量,a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ等于;1;;1;1;;1;1;12.已知M为△ABC的重心,D为BC的中点,则下列等式成立的是;;√;;1;;15.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是;;;;16.如图,已知正六边形ABCDEF,M,N分别是对角线AC,CE上的点,;;
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