几何空间的线性结构与度量结构(解几)知识点整理.pdfVIP

我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。——《白居易》 几何空间的线性结构与度量结构(解几) 1. 向量的内积 1) 射影与分量(有一个已知单位分量) ● 内射影：平行于已知分量 ● 外射影：垂直于已知分量 ● 实数u 记作a 在已知向量上的分量，记作∏e (a) ● 夹角a,e ● 性质：∏e （a+b）=∏e （a）+∏e(b) ● ∏e(ua)=u∏e(a) 2) 内积：定义：a.b=ⅠaⅠⅠbⅠcosa,b ● 线性性质1.ua.b=u(a.b) ● 2. （a+ c).b=a.b+a.c ● 两向量乘积等于对应坐标乘积之和 ● 度量参数：仿射坐标系（基向量）d1,d2,d3 的乘积，九个数 3) 方向角与方向余弦 ● 方向角：向量与基向量d1,d2,d3,所成的角 ● 方向余弦：方向角的余弦值，三个方向叫的余弦值的平方之和等于1 2. 向量的外积(仍为向量) 1) 定义：(大小)Ⅰa× bⅠ=ⅠaⅠⅠbⅠsina,b 2) 方向：与a, b 构成的平面垂直，成右手系 3) 几何意义：以a, b 为邻边的平行四边形的面积 4) 运算规则：1.当a≠0 时a× b= a×b2(b2 为b 沿着a 下的外射影) ● 2.反交换律：a× b= －bxa ● 3. （ua ）× b= u （a×b ）= （ub ）×a ● 4.左分配律：a×( b+c)= a× b+ a×c ● 5.右分配律：（b+c ）× a=b× a+c×a ● 用坐标计算向量的外积：详见书上36 页 5) 二重外积 ● a× （b×c ）= （a.c ）b －（a.b ）c ● 雅可比公式：a× （b×c ）+ b× （a×c ）+ c× （bxa ）=0 ● 若（a×b ）× c= a× （b×c ）则ac 平行或共线 ● 海伦公式：S 三角形=√p （p －a）（p －b ）（p －c ） 3. 向量的混合积 良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。——《汤显祖》 人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》 1) 定义：a×b.c （几何意义：表示以a,b,c 为棱的平行六面体的体积）记作（a,b,c） 2) 性质 ●1. a× b. c=0abc 共面 ●2. （a,b,c）= （b,c,a ）= （c,a,b ） ●3. a× b.c0 则a,b, c 呈右手系 3) 运算：见40-43 4) 共轭向量组：(axb,bxc,cxa)=(a,b,c) ∧2 5) 拉格朗日恒等式：(axb). （cxd ） ●推论：（axb）∧2 6) 柯西不等式：（a.b）∧2= a ∧2+ b ∧2 （a, b 共线时等号成立） 4. 向量以及线性运算 1) 分类： ●1. 自由向量\非自由向量 ●2.零向量，单位向量 2) 若存在非零实数c, d 使得ca+ db=0 则两向量共线 3) 三角不等式：Ⅰa+bⅠ≦ⅠaⅠ+ⅠbⅠ 4) 共面共线定理： ●线性组合：一组向量组的系数 ●共线 ●三点共线：aOA+ bOB+cOC=0(且abc 不全为零) ●a, b 共线，唯一的数f 使得b=fa ●M 在线段A B 上，有OM= fOA+ gOB 且f+ g=1 ●axb=0 ●共面 ●三向量线性相关，系数不