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线性代数经管类行列式;第2页/共117页;线性代数;;第一章 行列式;§1 二阶与三阶行列式;一、二元线性方程组与二阶行列式;求解公式为;其求解公式为;二阶行列式的计算 ;二元线性方程组 ;例1 ;类似地，讨论三元线性方程组;定义 设有9个数排成3行3列的数表;三阶行列式的计算 ;例1 计算行列式 ;现在分别用方程组的常数项来代替D的第1列、第2列、第3列得到：;例2：求解线性方程组;解：;§2 全排列及其逆序数;问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？;;对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.;定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.;计算排列的逆序数的方法;例1：;§3 n 阶行列式的定义;通过引进二阶行列式和三阶行列式，前面给出了2个未知量和3个未知量的线性方程组简洁的公式解，对于含有n个未知量的线性方程组, ;一、概念的引入;所以，三阶行列式可以写成 ;二、n 阶行列式的定义;思考题： 成立吗？;;解：;;四个结论：;;思考题;故 的系数为－1.;§4 对换;一、对换的定义;备注 相邻对换是对换的特殊情形. 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. ;二、对换与排列奇偶性的关系;;;既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么 ;定理3 n 阶行列式也可定义为 ;因为数的乘法是可以交换的，所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的，即 ;于是 与 同时为奇数或同时为偶数. ;经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. 所以，在一系列对换之后有;例1 试判断 和;1. 对换改变排列奇偶性．;§5 行列式的性质;一、行列式的性质;性质1 行列式与它的转置行列式相等.;性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.;性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.;推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．;验证;性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：;验证;性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后???到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．;例１;;;;;;例2 计算 阶行列式;第70页/共117页;例3 设 ;证明;对 D 的前 k 行作运算 ，再对后 n 列作运算 ， 把 D 化为下三角形行列式; (行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立).;计算4阶行列式 ;思考题解答;第77页/共117页;§6 行列式按行(列)展开;一、引言;例如 ;引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ．;即有;我们以4阶行列式为例. ;思考题：能否以 代替上述两次行变换？; 被调换到第1行，第1列;二、行列式按行（列）展开法则;同理可得;例; 证明 用数学归纳法;假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行 减去前行的 倍：; n?1阶范德蒙德行列式;推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即;;例 计算行列式;;例 设 , 的 元的余子式和 代数余子式依次记作 和 ，求;解;;§7 克拉默法则;二元线性方程组 ;一、克拉默法则;其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即;定理中包含着三个结论：;关于克拉默法则的等价命题;例 解线性方程组;;第107页/共117页;线性方程组;齐次线性方程组的相关定理;练习题：问 取何值时，齐次方程组;练习题： 求平面上两两不重合的三条直线;不妨设 ( x, y, 1) 是方程组(1)的解, 则它是方程组;其次,由三条直线相交于一点，故其中任意二条直线相交于一点, 故非齐次线性方程组;思考题;小结;n阶行列式;谢谢观看！