数学模型吕跃进数学建模A试卷及习题与讲解.pdfVIP

数学建模 A 试卷参考答案 一．概念题（共 3 小题，每小题 5 分，本大题共 15 分） 1、什么是数学模型(5 分) 答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内 在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 2、数学建模有哪几个过程(5 分) 答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型 检验，模型应用。 3、试写出神经元的数学模型。 答：神经元的数学模型是 T 其中 x ＝（x ，…x ） 输入向量，y 为输出，w 是权系数；输入与输出具有如下关系： 1 m i θ为阈值，f （X ）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．（5 分） 二、模型求证题（共 2 小题，每小题 10 分，本大题共 20 分） 1、（l ）以雇员一天的工作时间t 和工资 w 分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示 意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5 分) （2 ）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。根据雇员的 无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5 分) 答：（l ）雇员的无差别曲线族 f （w，t ）=C 是下凸的，如图 1，因为工资低时，他愿以较多的工 作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间． （2 ）雇主的计时工资族是 w=at，a 是工资率．这族直线与 f （w，t ）=c 的切点 P ，P ，P ，… 1 2 3 的连线 PQ 为雇员与雇主的协议线．通常 PQ 是上升的（至少有一段应该是上升的），见图 1． 2 、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7 分)又问命题对长 凳是否成立，为什么(3 分) 答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。 如图建立坐标系：其中 A,B,C,D 代表方凳的四个脚, 以正方形 ABCD 的中心为坐标系原点。 记 H 为脚 A,C 与地面距离之和， G 为脚 B,D 与地面距离之和， θ 为 AC 连线与 X 轴的夹角， 不妨设 H(0)0 , G(0)=0,(为什么?) 令 X f( θ) = H( θ) - G( θ) 图二 则 f 是θ的连续函数,且 f(0)=H(0)0 将方凳旋转 90 °,则由对称性知 H( π/2)=0, G( π/2)=H(0) 从而 f( π/2)= -H(0) 0 由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0, π/2) ，使 f( θ) = 0 (二)命题对长凳也成立，只须记 H 为脚 A,B 与地面距离之和， G 为脚 C,D 与地面距离之和， θ 为 AC 连线与 X 轴的夹角 0 将θ旋转 180 同理可证。 三、模型计算题（共 5 小题，每小题 9 分，本大题共 45 分）  1 3 5   1、A  1/ 3 1 3 ，试用和法求其最大特征根及对应的特征向量及一致性指标。(9 分)   1/ 5 1/ 3 1  1 3 5 15/ 23 9 / 13 5 / 9     答： A  1/ 3