复变函数总结2021年整理.doc

复变函数总结完整版 复变小结 1.幅角（不赞成死记，学会分析） -∏arg z≤∏ Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2 2. 求根： 由z==r(cos+isin)得 ==(cosn+isinn) 当r=1时，= （*1） 当 w= （*2） 例： 可直接利用（*1）式求解 可令z=1+i,利用（*2）式求解 3.复函数： a. 一般情况下：w=f(z),直接将z=x+iy代换求解 但遇到特殊情况时：如课本P12例1.13（3）可考虑： z==r(cos+isin)代换。 b.对于P12例题1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C）共线所满足的公式: (向量) OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBA c.对于P15例题1.14中可直接转换成X和Y的表达式后判断正负号来确定其图像。 d.判断函数f(z)在区域D内是否连续可借助课本P17定义1.8 4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。 b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加） c.指数函数:复数转换成三角的定义。 d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k) e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e时，w= = (幂指数为Ln而非ln) 能够区分： 的计算。 f.三角函数和双曲函数： 只需记住： 及 其他可自己试着去推导一下。 反三角中前三个最好自己记住，特别 因为下一章求积分会用到(如第三章的习题9) 5.复变函数的积分 a.注：只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。（勿乱用） 例如: 与路径无关。而与路径有关。 b.柯西-古萨基本定理：当函数f(z)在以简单闭曲线C为边界的有界区域D内解析且在闭区域上连续时： 重要公式 c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分： d.调和函数： 一般与柯西-黎曼公式一起用:熟知课本P52中的例3.11中三种解法即可。 6.级数 a.熟知课本P59定理4.2及其推导（其中1最重要）性质。 b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。 c. 幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。（方法同于高数级数） d.泰勒级数： 五个重要初等函数展开式：