数学第七版上册第七版第一章--不等式与集合.pptxVIP

第一章 不等式与集合;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;1．2　一元一次不等式(组);;;;;;;;;;;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1．3　一元二次不等式;1.3　一元二次不等式;;1.4 含有绝对值的不等式;1.4 含有绝对值的不等式;1.4 含有绝对值的不等式;1.4 含有绝对值的不等式;1.4 含有绝对值的不等式;一个重要的不等式 不等式是很多实际问题的反映，某些不等式还是解决某类数学问题的重要工具，这里所介绍的不等式 ≤ （a0，b0）就能起到这样的作用，它的推导十分简单，也有明确的几何意义，用于解决诸如求最大值、最小值等实际问题，能收到事半功倍的效果，因此这是一个重要的不等式。 不等式 ≤ （a0，b0）的导出;1．代数方法导出 你一定已经知道，任何实数的平方不小于0，即对于任意实数x，y，必定有（x-y）2 ≥ 0，当且仅当x=y时等号成立，将（x-y）2 ≥ 0的左边展开得 x2-2xy+y2 ≥ 0 移项得 x2+y2 ≥ 2xy 这表明对于任意实数x，y，都有 x2+y2 ≥ 2xy ① 当且仅当x=y时，等号成立。;特别地，当a0，b0，我们用 ， 分别代替x、y，则不等式①变为a+b ≥ 2 ，即 ≤ （a0，b0） ② 不等式②右边称为a，b的算术平均值，左边称为a，b的几何平均值。因此，不等式②表达的结论为：任何大于零的实数的几何平均值不超过算术平均值.;2．几何方法导出 来做一个试验：用硬纸板做四个全等的直角三角形，设两条直角边的长度分别为x，y，则斜边 长c= .现在把它们拼成一个如图a那样边长是c的正方形，当x=y，即四个直角三角形均为等边直角三角形时，这种拼接将不留缝隙（图b）.否则将会留下一个空腔（图a）.四个直角三角形的面积和为2xy，用它们拼成的正方形面积为c2= x2+ y2，观察并分析图a和图b，容易得到结论：x2+ y2≥2xy，???且仅当x=y时等号成立.这正是用代数方法得到的不等式①.余下的证明过程就同“代数方法导出”的相关部分一样了.;图b;不等式 ≤ （a0，b0）的应用 当a，b的和一定时，若不等式②中等号成立，则a，b的几何平均值 取最大值：当a，b的积一定时，若不等式②中等号成立，则a，b的算术平均值 取最小值.利用这个特性，可以很方便地解决一些求最大（小）值的实际问题.;例1 用一根长为20厘米的铁丝做一个矩形框，这个矩形的长、宽各为多少时，铁丝框的面积最大？最大面积是多少？;例2 做一个体积为32立方厘米、高为2厘米的长方形无盖纸盒，底面的长和宽取什么值时用纸最省？最省用纸量是多少？ 设底面长为x厘米，宽为y厘米，纸盒需用纸为S平方厘米. 依题意 S=2（2x+2y）+xy=4（x+y）+xy 已知体积的数值为2xy=32，所以xy=16，将xy=16代入上式，得 S=4（x+y）+16=4［（x+y）+4］ 根据不等式②，得 x+y≥2 =8 当x=y时，x+y取得最小值8，此时x=y=4.