《高职应用数学》教案 第8课 两个重要极限及无穷小的比较.doc

第8课 两个重要极限及无穷小的比较 课 题 两个重要极限及无穷小的比较 课 时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： 1．熟练掌握利用两个重要极限公式求极限 2．掌握两个无穷小的阶的比较 3．了解利用等价无穷小求极限 思政育人目标： 通过学习两个重要极限及无穷小的比较，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：两个重要极限公式、无穷小量的比较、利用等价无穷小量求极限 教学难点：掌握利用两个重要极限公式求极限的方法 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第一节课：课前任务→考勤（2 min）→复习（10 min）→讲授新课（20 min）→课堂测验（6 min）→课堂指导（7 min） 第二节课：讲授新课（20 min）→课堂测验（10 min）→互助指导（12 min）→课堂小结（3 min）→课后拓展 教学过程 主 要 教 学 内 容 及 步 骤 设计意图 第一节课 课前任务 【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在上课前交齐 【学生】做完作业，在上课前交齐 【教师】通过APP或其他学习软件，布置课前任务： （1）复习无穷小量、无穷大量的定义； （2）预习两个重要极限； （3）预习无穷小量的比较 【学生】提前上网有哪些信誉好的足球投注网站了解，查阅资料，了解问题，熟悉教材 通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望 考勤 （2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 复习 （10 min） 【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解 【学生】做复习题目 复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础 讲授新课 （20 min） 【教师】通过观察函数图像，推导出极限公式，并通过例题介绍使用该公式求函数极限的方法 函数的图像如图2-7所示，从图像可以看出，当时，函数的值无限趋近于1． 图2-7 此重要极限属于型，常形象地表示为 （□代表同一变量）． 例1 求． 例1 解 令，则．当时，．于是有 ． 例2 求下列极限 例2 （1）； （2）； （3）． 解 （1）． （2）． （3）． 【教师】通过函数的变化趋势推导出极限公式，并通过例题介绍使用该公式求函数极限的方法 当时，函数的变化趋势如表2-1所示． 表2-1 从表2-1中可以看出，当及时，的值无限趋近于，即．若令，则当时，．因此，还可以写成． 此重要极限属于型，常形象地表示为 或（□代表同一变量）． 例3 求下列函数的极限 例3 （1）； （2）． 解 （1）令，则．于是 ． （2）． 例4 设有本金10 000元，年利率为6%，计息期为 例4 （1）单利计息（五年结算一次）； （2）复利计息（3个月结算一次）； （3）连续复利计息． 解 （1）单利计息（五年结算一次）时本利和为 （元）． （2）复利计息（3个月结算一次）时本利和为 （元）． （3）连续复利计息时本利和为 （元）． 【学生】熟练运用两个重要极限公式求函数的极限 学习两个重要极限。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （6 min） ?教师在APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。 【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 课堂指导 （7 min） ?选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点 【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则老师示范 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点 第二节课 讲授新课 （20 min） 【教师】讲解无穷小量的比较方法，以及利用等价无穷小求极限的方法 我们已经知道，两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量，但两个无穷小量的商却不一定是无穷小量． 例如，当时，都是无穷小量，但两个无穷小量的商却会出现不同的情况，如 ，，，． 两个无穷小量比值极限的不同，反映了不同无穷小量趋于零的速度差异． ，说明当时，的速度比要快； ，说明当时，的速度比要慢； ，说明当时，与的速度相当； ，说明当时，与的速度相同． 由上可知，可以用两个无穷小量商的极限来比较它们趋于零的快慢，为此引入如下定义． 定义 设是自变量的同一变化过程中（或）的无穷小量，且． （1）若，则称β是比α高阶的无穷小，记作； （2）