《高职应用数学》教案 第18课 利用导数求最值.doc

第18课 利用导数求最值 课 题 利用导数求最值 课 时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： 1．掌握利用导数求最值的方法 2．掌握在生产、生活的实际问题中求最值的方法 思政育人目标： 通过结合实际问题讲解利用导数求最值的方法，使学生体会到数学概念是源于实际生活的，数学与我们的生活是息息相关的；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的 教学重难点 教学重点：利用导数求最值 教学难点：在实际问题中求最值 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第一节课：课前任务→考勤（2 min）→复习（10 min）→讲授新课（23 min）→课堂测验（10 min） 第二节课：讲授新课（20 min）→课堂测验（10 min）→互助指导（12 min）→课堂小结（3 min）→课后拓展 教学过程 主 要 教 学 内 容 及 步 骤 设计意图 第一节课 课前任务 【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐 【学生】做完作业，在指定时间内交齐 【教师】通过APP或其他学习软件，布置课前任务： （1）复习函数的极值、极值点 （2）预习函数最值的计算方法 【学生】查找资料，预习教材 通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望 考勤 （2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 复习 （10 min） 【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解 【学生】做复习题目 复习极值和极值点的判定方法，为讲授新课打好基础 讲授新课 （23 min） 【教师】和学生一起总结利用导数求函数最值的步骤，再利用较为简单的例题进行针对性的讲解 在工农业生产、科学技术研究、经营管理中，经常需要解决在一定条件下“产量最多”“用料最省”“效率最高”“成本最低”等最优化问题．这些问题反映在数学上，就是求函数的最值问题． 函数在其定义域上的最大值与最小值统称为的最值．闭区间上的连续函数一定存在着最大值和最小值．一般情况下，把函数所有可能的极大值、极小值与区间的端点函数值，做比较，这些数值中的最大者就是函数在上的最大值，最小者就是函数在上的最小值． 如图4-2所示，的最大值是，最小值是，这说明函数的最值可能在区间内取得，也可能在区间端点取得． 求函数在上最值的一般步骤如下： （1）求出在内的所有驻点及不可导的点； （2）求出各驻点、不可导点及区间端点的函数值； （3）比较上述各函数值的大小，其中最大者是在上的最大值，最小者是在上的最小值． 例1 求函数在区间上的最大值和最小值． 例1 解 因为函数在区间上连续，所以在该区间上一定存在着最大值和最小值． 函数的导数为 ． 令，得驻点，，于是 ． 比较上述各值，可知函数在区间上的最大值为，最小值为． （例2详见教材） 【学生】掌握利用导数求函数最值的方法 学习利用导数求函数最值的方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） ?教师在APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。 【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目的正确答案，演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 讲授新课 （20 min） 【教师】列举生产、生活中与学生专业相关的实际问题进行讲解 在实际问题中往往根据问题的性质，便可断定可导函数在其区间内部有最大值（或最小值），而且函数在此区间内只有一个驻点时，即可断定就是所求的最大值（或最小值）． 图4-7例3 有一块宽为的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为．如图4-7所示为水槽的横截面，问取何值时水槽的流量最大？ 图4-7 例3 解 设两边各折起，则横截面积为 ． 由此，问题归结为：当为何值时，取最大值？ 因为，所以令，得的唯一驻点． 又因为铁皮两边折得过大或过小，其横截面积都会变小，所以该实际问题存在最大值．因此，的最大值在处取得，即当时，水槽的流量最大． 例4 如图4-8所示，有一块边长为a的正方形铁皮，从其四个角截去大小相同的四个小正方形，做成一个无盖的容器． 例4 解 设截去的小正方形的边长为，则做成的无盖容器的体积为 图4-8，． 图4-8 由此，该问题归结为：求函数在内的最大值． 因为，所以令，得唯一解 ． 由于在区间内只有一个驻点，根据题意最大容积一定存在，