《高职应用数学》教案 第13课 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数.doc

第13课 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 课 题 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 课 时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： 1．理解隐函数的导数，及其求导方法 2．掌握由参数方程确定的函数的求导方法 3．掌握利用对数求导法求导的方法 思政育人目标： 通过讲解不同类型函数的求导方法，使学生认识到针对不同问题，要用不同的方法去解决，不能千篇一律、不知变通；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的 教学重难点 教学重点：隐函数的求导方法 教学难点：利用复合函数的求导法则对隐函数进行求导 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第一节课：课前任务→考勤（2 min）→复习（10 min）→讲授新课（33 min） 第二节课：讲授新课（16 min）→课堂测验（13 min）→课堂指导（13 min）→课堂小结（3 min）→课后拓展 教学过程 主 要 教 学 内 容 及 步 骤 设计意图 第一节课 课前任务 【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐 【学生】做完作业，在指定时间内交齐 【教师】通过APP或其他学习软件，布置课前问答题： （1）什么是隐函数？ （2）什么是参数方程？ （3）什么是对数求导法？ 【学生】查找资料，预习教材 通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望 考勤 （2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 复习 （10 min） 【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解 【学生】做复习题目 复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础 讲授新课 （33 min） 【教师】讲解隐函数的导数，并通过例题介绍其求导方法 用解析法表示函数通常有两种不同的方式：一种是由的形式给出的自变量为的函数，称为显函数，如，，等均为显函数；另一种是由方程的形式所确定的自变量为的函数，称为隐函数，如，等均为隐函数． 显函数与隐函数都反映了变量之间存在的某种依赖关系，只是表达形式不同．有些隐函数可以化为显函数，如可化为；有些隐函数则不能化为显函数，如．因此，在求隐函数的导数时，希望能找到一个不需要把隐函数化为显函数，而直接由方程求出导数的方法．利用复合函数的求导法则，就能解决一般隐函数的求导问题．下面通过实例介绍隐函数的求导方法． 例1 求由方程所确定的隐函数的导数． 例1 解 将方程的两边同时对求导，并注意到是的函数，则是的复合函数，利用导数的基本公式，函数和、差、积、商的求导法则，以及复合函数的求导法则，得 ， 即 ， 解出得 ． 例2 求由方程所确定的函数在点处的导数． 例2 解 将方程两边同时对求导，得 ， 即 ， 合并含项，得 ． 解出，得 ． 由原方程知，当时，．因此在点处的导数为 ． 由以上两例可以得出求隐函数的导数的方法： 求由方程所确定的隐函数的导数时，将方程的两边同时对自变量求导，注意到是的函数，的函数则是的复合函数，利用导数的基本公式，函数和、差、积、商的求导法则，以及复合函数的求导法则，解出，就得到隐函数的导数． （例3～例5详见教材） 【教师】讲解由参数方程确定的函数的求导方法，并通过例题介绍其应用 我们知道，参数方程确定了是的函数，如何计算这个函数的导数呢？ 在式中，如果函数具有单调连续反函数，且此反函数与函数构成复合函数，那么由参数方程所确定的函数可以看成由函数，复合成的函数．因此，根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，有 ． 例6 求由参数方程所确定的函数的导数． 例6 解 因为，所以 ． 例7 求摆线在时相应点处的切线方程． 例7 解 当时，摆线上相应点的坐标为．因为 ，， 即 ， 所以，摆线在点处的导数为 ． 因此，摆线在点处的切线方程为 ， 即 ． 【学生】理解隐函数的导数、掌握其求导方法；理解由参数方程确定的函数的求导方法 学习隐函数的导数，及其求导方法，以及由参数方程确定的函数的求导方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 第二节课 讲授新课 （16 min） 【教师】讲解对数求导法，并通过例题介绍其应用 有时我们会遇到这样一种情形：虽然给定的函数是显函数，但是直接求它的导数很困难或很麻烦，