《高职应用数学》教案 第19课 曲率.doc

第19课 曲率 课 题 曲率 课 时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： 1．理解曲率，掌握其计算公式 2．理解曲率圆和曲率半径，掌握曲率圆和曲率半径在实际问题中的应用 思政育人目标： 通过用曲率解决实际问题，使学生体会到数学概念是源于实际生活的，数学与我们的生活是息息相关的；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：曲率及其计算公式、曲率圆与曲率半径 教学难点：曲率圆和曲率半径在实际问题中的应用 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第一节课：课前任务→考勤（2 min）→复习（10 min）→讲授新课（18 min）→课堂测验（7 min）→课堂指导（8 min） 第二节课：讲授新课（20 min）→课堂测验（10 min）→互助指导（12 min）→课堂小结（3 min）→课后拓展 教学过程 主 要 教 学 内 容 及 步 骤 设计意图 第一节课 课前任务 【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐 【学生】做完作业，在指定时间内交齐 【教师】通过APP或其他学习软件，布置课前问答题： （1）什么是曲率？如何计算曲率？ （2）什么是曲率圆？什么是曲率半径？ 【学生】查找资料，预习教材 通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望 考勤 （2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 复习 （10 min） 【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解 【学生】做复习题目 复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础 讲授新课 （18 min） 【教师】引入课题——曲率的概念 在实际中，有时需要研究曲线的弯曲程度．例如，为了保证列车行驶安全，在铁路线路的转弯处，往往需要接上一段逐渐改变方向的曲线线路，这种曲线称为缓和线．本节将对曲线的弯曲程度做定量分析，给出曲率的概念． 【教师】从直观图形的角度讲解曲率，然后介绍曲率的计算公式，并通过例题介绍其应用 曲率研究的是曲线的弯曲程度，如何衡量曲线的弯曲程度呢？如图4-11所示，设曲线是光滑的，在曲线上选定一点作为度量弧的基点，设在点处切线的倾斜角为，曲线上另外一点B处切线的倾斜角为．我们用比值（即单位弧段上切线转过的角度大小）来表达弧段的平均弯曲程度． 记，称为弧段的平均曲率．记，称为曲线在点处的曲率．于是，在存在的条件下，有 ． 此式说明曲线在点A处的曲率可表示为转角微分与弧微分之商，其中弧微分为 ． 例如，设圆的半径为R（见图4-12），则圆的平均曲率． 图4-11 图4-12 因为与点A的位置无关，所以点处的曲率为 ， 即圆上任意一点处的曲率都是相等的，等于．可见，半径越小，弯曲程度越大，曲率越大，这与我们对圆的认识是一样的． 设且具有二阶导数（这时连续，从而曲线是光滑的）．因为 ， 所以，上式两边取微分得 ， 于是 ． 又知，从而得到曲率的计算公式，即 ． 例1 计算直线上任意一点的曲率． 例1 解 由题意知，，，因此． （例2、例3详见教材） 【学生】理解曲率，掌握其计算公式 学习曲率，及其计算公式。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （7 min） ?教师在APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。 【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 课堂指导 （8 min） ?选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点 【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则老师示范 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点 第二节课 讲授新课 （20 min） 【教师】讲解曲率圆与曲率半径，利用与现实相关的例题，让学生感受到学有所用 如图4-13所示，设曲线在点处的曲率为()．在点处曲线的法线上，在凹的一侧取一点，使．以为圆心，为半径作圆，则这个圆称为曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心称为曲线在点处的曲率中心，曲率圆的半径称为曲线在点处的曲率半径． 曲线在点处的曲率()与曲线在点处的曲率半径有如下关系： ，． 例4 如图4-14所示，设工件表面的截线为抛物线．现要用砂轮磨削其内表面，问直径为多大时砂轮才比较合适？ 例4 解 由题意