小学数学重难点专题突破：数论知识点总结.pdf

忍一句，息一怒，饶一着，退一步。——《增广贤文》 ⼩学数学重难点专题突破：数论知识点总结 数论模块难度较⼤，知识点繁杂，是杯赛考察的重点。家长如需让孩⼦择校，⼀定要在数论这块有所拓展。 今天，助⼿整理了有关数论的知识点，先看⼤纲： ⼀、数 奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 奇数个奇数的和=奇数 偶数个偶数的和=偶数 质数与合数 质数：⼀个数除了1和它本⾝之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。 合数：⼀个数除了1和它本⾝之外，还有别的约数，这个数叫做合数。 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数：把⼀个数⽤质数相乘的形式表⽰出来，叫做分解质因数。通常⽤短除法分解质因数。任何⼀个合数分解质 因数的结果是唯⼀的。 分解质因数的标准表⽰形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1a2a3……an。 求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数：如果两个数的最⼤公约数是1，这两个数叫做互质数。 完全平⽅数 完全平⽅数特征： 1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9 ；反之不成⽴。 2.除以3余0或余1；反之不成⽴。 3.除以4余0或余1；反之不成⽴。 4.约数个数为奇数；反之成⽴。 5.奇数的平⽅的⼗位数字为偶数；反之不成⽴。 6.奇数平⽅个位数字是奇数；偶数平⽅个位数字是偶数。 百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》 百学须先立志。——朱熹 7.两个相临整数的平⽅之间不可能再有平⽅数。 平⽅差公式：X2-Y2= （X-Y）（X+Y） 完全平⽅和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平⽅差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2 约数与倍数 约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 ●公约数：⼏个数公有的约数，叫做这⼏个数的公约数；其中最⼤的⼀个，叫做这⼏个数的最⼤公约数。 ▶最⼤公约数的性质： 1. ⼏个数都除以它们的最⼤公约数，所得的⼏个商是互质数。 2. ⼏个数的最⼤公约数都是这⼏个数的约数。 3. ⼏个数的公约数，都是这⼏个数的最⼤公约数的约数。 4. ⼏个数都乘以⼀个⾃然数m，所得的积的最⼤公约数等于这⼏个数的最⼤公约数乘以m。 例如： 12的约数有1、2、3、4、6、12； 18的约数有：1、2、3、6、9、18； 那么12和18的公约数有：1、2、3、6 ； 那么12和18最⼤的公约数是：6，记作（12，18）=6 ； ▶求最⼤公约数基本⽅法： 1. 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 2. 短除法：先找公有的约数，然后相乘。 3. 辗转相除法：每⼀次都⽤除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最⼤公约数。 ●公倍数：⼏个数公有的倍数，叫做这⼏个数的公倍数；其中最⼩的⼀个，叫做这⼏个数的最⼩公倍数。 12的倍数有：12、24、36、48…… ； 18的倍数有：18、36、54、72…… ； 那么12和18的公倍数有：36、72、108……； 那么12和18最⼩的公倍数是36，记作[12，18]=36； ▶最⼩公倍数的性质： 1. 两个数的任意公倍数都是它们最⼩公倍数的倍数。 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼 志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟 1. 两个数的任意公倍数都是它们最⼩公倍数的倍数。 2. 两个数最⼤公约数与最⼩公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 ▶求最⼩公倍数基本⽅法： 1. 短除法求最⼩公倍数； 2.分解质因数的⽅法 ⼆、整除 ●基本概念和符号： 1. 整除：如果⼀个整数a，除以⼀个⾃然数b，得到⼀个整数商c，⽽且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记 作b|a。 2. 常⽤符号：整除符号“|”，不能整除符号“” ；因为符号“∵” ，所以的符号“∴” 。 ●整除判断⽅法： 1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。 2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。