小学数学必考知识点——周期性问题.pdf

古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼 ⼩学数学必考知识点——周期性问题 例1. 某年的⼆⽉份有五个星期⽇，这年六⽉⼀⽇是星期_____ 【解析】 因为7X4=28，由某年⼆⽉份有五个星期⽇，所以这年⼆⽉份应是29天，且2⽉1⽇与2⽉29 ⽇均为星期⽇，3⽉1⽇是星 期⼀，所以从这年3⽉1⽇起到这年6⽉1⽇共经过了 31+30+31+1=93(天). 因为93¸7=13…2，所以这年6⽉1⽇是星期⼆. ⼩贴⼠ 本题是推断若⼲天、若⼲⽉或若⼲年后某⼀天为星期⼏，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运⽤周期性解 答.在计算天数时,要根据“四年⼀闰，整百不闰，四百年才⼜⼀闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就 是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年. 例2 时针现在表⽰的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表⽰的时间是_____. 【解析】分针旋转⼀周为1⼩时,旋转1991周为1991⼩时.⼀天24⼩时, 1991 X 24=82…23，1991⼩时共82天⼜23⼩时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23⼩时,正好是13时. ⼩贴⼠ 在圆⾯上,沿着圆周把1到12的整数等距排成⼀个圈,再加上⼀根长针和⼀根短针,就组成了我们天天见到的钟⾯.钟⾯虽然 是那么的简单平常,但在钟⾯上却包含着⼗分有趣的数学问题,周期现象就是其中的⼀个重要⽅⾯. 例3 把⾃然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在_____列. 第⼀列第⼆列第三列第四列第五列 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14 18 17 16 15 … … … … … … … … … 【解析】 仔细观察题中数表. 1 2 3 4 5 (奇数排) 人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。——《顾炎武》 1 2 3 4 5 (奇数排) 第⼀组 9 8 7 6 (偶数排) 10 11 12 13 14 (奇数排) 第⼆组 18 17 16 15 (偶数排) 19 20 21 22 23 (奇数排) 第三组 27 26 25 24 (偶数排) 可发现规律如下: (1)连续⾃然数按每组9个数,且奇数排⾃左往右五个数,偶数排⾃右往左四个数的规律循环排列； (2)观察第⼆组,第三组,发现奇数排的数如果⽤9除有如下规律:第1列⽤9除余数为1,第2列⽤9除余数为2,…，第5列⽤9除 余数为5. (3)10÷9=1…1，10在1+1组，第1列 19÷9=2…1，19在2+1组，第1列 因为1992÷9=221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上. 例4 在⼀根长100厘⽶的⽊棍上，⾃左⾄右每隔6厘⽶染⼀个红点，同时⾃右⾄左每隔5厘⽶也染⼀个红点，然后沿红点 处将⽊棍逐段锯开，那么长度是1厘⽶的短⽊棍有多少根？ 【解析】因为100能被5整除,所以⾃右⾄左染⾊也就是⾃左⾄右染⾊.于是我们可以看作是从同⼀端点染⾊. 6与5的最⼩公倍数是30,即在30厘⽶的地⽅,同时染上红⾊,这样染⾊就会出现循环,每⼀周的长度是30厘⽶,如下图所⽰. 由图⽰可知长1厘⽶的短⽊棍,每⼀周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,5X5-6X4=1.剩余10厘⽶中有⼀段.所以锯开后长1厘 ⽶的短⽊棍共有7段.综合算式为: 2X[(100-10)÷30]+1 =2X3+1 =7(段) 例5 紧接着1989后⾯⼀串数字，写下的每个数字都是它前⾯两个数字的乘积的个位数.例如8X9=72,在9后⾯写2,9X2=18, 在2后⾯写8,……得到⼀串数字: 1 9 8 9 2 8 6…… 这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？ 【解析】依照题述规则多写⼏个数字: 大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？——《罗贯中》 人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》 【解析】依照题述规则多写⼏个数字: 1989286884286884…… 可见1989后⾯的数总是不断循环重复出现286884，每6个⼀组，即循环周期为6.因为(1989-4)÷6=330…5，所以所求数 字是8。 良辰美景奈何天，便赏心乐事