实数的完备性.ppt

实数的完备性;即数列的单调有界定理在有理数域不成立。 ; 本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理：区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，还将说明这六个基本定理的等价性。 ;定理1（区间套定理） 若{[ ]}是一个区间套， ;即证明 是唯一的 .;区间套定理主要用于存在性问题的研究.; 在什么情况下应用闭区间套定理呢？ 一般来说, 证明问题需要找到具有某种性质 P 的一个数,常常应用闭区间套定理将这个数“套”出来。 怎样应用闭区间套定理呢? ① 首先构造一个具有性质P的闭区间. 性质要根据性质P来定。 ② 其次，通常采用二等分法， 将此闭区间二等分 ，至少有一个闭区间具有性质P。 ③ 继续二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P 的闭区间列，根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P的数。;例1. 用区间套定理证明“数列的柯西收敛准则” .; [充分性] ;仿以上方法得到闭区间列 ;二、聚点定理;整数集Z和自然数集N没有聚点。;;;;且其中每一个闭区间都含E中无穷多个点。;第十七页，共四十三页，2022年，8月28日;例3.2.2 （致密性定理）有界数列必含有收敛子列。;注：;定义3. （开覆盖的定义） ;也可以用以下方式定义开覆盖:;函数f 在 (a, b) 内连续， ;例3. 设;证明思路：;定理3.2.3 ((Heine-Borel)有限覆盖定理) ;记这个子区间为 [a2, b2],;由区间套定理，存在唯一的一点 ;有限覆盖定理对开区间不一定成立 。; 一般来说，如果我们已知在闭区间[a,b]的每一点的某个邻域内都具有性质P，每一点的邻域（开区间）集覆盖[a,b]，为了将性质P扩充到整个闭区间[a,b]，这时用有限覆盖定理能将覆盖[a,b]的无限多个邻域转化为有限个邻域。 总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩充到整个闭区间，常常要用有限覆盖定理。;定理3.1.12 （一致连续性定理）;第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日;四、实数完备性基本定理的等价性;实数集的完备性基本定理; 柯西收敛准则 ;设;由闭区间套定理，存在唯一的一点ξ， 使;例6. 用有限覆盖定理证明聚点定理.;很明显, H 覆盖了闭区间 [ – M, M]. 根据有限覆盖; 使得 为 的上界，?? 不是 的上界，; 故存在 ，使得 ．;例8. 致密性定理 数列的柯西收敛准则的充分性。;由致密性定理，有界数列{an}必有收敛子列 ;例9.实数的完备性;即数列的单调有界定理在有理数域不成立。 ; 本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理：区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，还将说明这六个基本定理的等价性。 ;定理1（区间套定理） 若{[ ]}是一个区间套， ;即证明 是唯一的 .;区间套定理主要用于存在性问题的研究.; 在什么情况下应用闭区间套定理呢？ 一般来说, 证明问题需要找到具有某种性质 P 的一个数,常常应用闭区间套定理将这个数“套”出来。 怎样应用闭区间套定理呢? ① 首先构造一个具有性质P的闭区间. 性质要根据性质P来定。 ② 其次，通常采用二等分法， 将此闭区间二等分 ，至少有一个闭区间具有性质P。 ③ 继续二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P 的闭区间列，根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P的数。;例1. 用区间套定理证明“数列的柯西收敛准则” .; [充分性] ;仿以上方法得到闭区间列 ;二、聚点定理;整数集Z和自然数集N没有聚点。;;;;且其中每一个闭区间都含E中无穷多个点。;第十七页，共四十三页，2022年，8月28日;例3.2.2 （致密性定理）有界数列必含有收敛子列。;注：;定义3. （开覆盖的定义） ;也可以用以下方式定义开覆盖:;函数f 在 (a, b) 内连续， ;例3. 设;证明思路：;定理3.2.3 ((Heine-Borel)有限覆盖定理) ;记这个子区间为 [a2, b2],;由区间套定理，存在唯一的一点 ;有限覆盖定理对开区间不一定成立 。; 一般来说，如果我们已知在闭区间[a,b]的每一点的某个邻域内都具有性质P，每一点的邻域（开区间）集覆盖[a,b]，为了将性质P扩充到整个闭区间[a,b]，这时用有限覆盖定理能将覆盖[a