国开电大_工程数学(本)_工程数学第4次作业_形考答案.doc

工程数学（本）形成性考核作业4 综合练习书面作业（线性代数部分） 一、解答题（每小题10分，共80分） 1. 设矩阵，，已知，求． 解：由XA=B知，XAA-1=BA-1，则X=BA-1 = 2. 设矩阵，解矩阵方程 解：因为012 →102 得A-1=5 所以X=A-1B=5-32 3. 解矩阵方程，其中，． 解：由可得(A-1) X=B 由已知条件可得A-1=3558 A-11=351 →150-120 因此，(A-1)-1=-85 X=(A-1)-1 B=-855 4. 求齐次线性方程组的通解. 解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形 A=1-13-12 →1 方程组的一般解为x1=4x3-5 令x3=1， X1=4 令x3=0 X2=-5 于是，X1 方程组的通解为k1X1+k2 5．求齐次线性方程组 的通解． 解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形 A=1-31- →1 方程组的一般解为x1=-514x3 令x3=1，得方程组的一个基础解系X1=- 于是，方程组的通解为kX1(其中k为任意常数) 6. 当取何值时，齐次线性方程组 有非零解？在有非零解的情况下求方程组的通解. 解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形 A=12145 故当λ=7时，方程组有非零解。 方程组的一般解为x1=-3x3x2 令x3=1，得方程组的一个基础解系X1=- 于是，方程组的通解为kX1(其中k为任意常数) 7. 当取何值时，非齐次线性方程组 有解？在有解的情况下求方程组的通解. 解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形 B=1111-1 因R(A)=2，故当R(B)=2时，即当λ=5时，方程组有无穷多解 B=111 选x3为自由未知数，得解方程组 即x1x2x3=C-211+ 8. 求线性方程组的通解. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1-24-52 →1 方程组的一般解为x1=-2x3-1x2= 令x3=0，得方程组的一个特征解X0=(-1,2,0) 不计最后一列，x3=1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系X1=(-2,1,1) 于是，方程组的通解为：X= X0+ kX1 (其中k是任意常数) 二、证明题（每题10分，共20分） 1. 对任意方阵，试证是对称矩阵． 证明：由已知条件和对称矩阵性质 (A+A) = A+（A）= A+ A= A+ A 所以A+ A是对称矩阵。 2. 设阶方阵满足，试证矩阵可逆. 证明：原式可以分解为A(I-A)=1或(I-A)A=1 根据逆矩阵定义：AB=BA=1 那么A和I-A都可逆，且A的逆为I-A，I-A的逆为A。