初中数学倒角知识点总结.pdf

好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》 不可不知的倒角 一、基础知识 等角：角平分线，等腰三角形底角，对顶角，平行线同位角、内错角，同角、等角的余角 或补角，同弧、等弧圆周角， 余角（补角）：垂直，直角三角形，共线，平行线同旁内角，三角形内角和，外角等于内 对角 转换：全等三角形，相似三角形，圆周角与圆心角 倒角（1）题目已知条件（如角度，角分线，垂直，平行） （2 ）最基本的等角（角分线，对顶角，同角余角，） （2 ）特殊三角形内角（等腰三角形，直角三角形，含已知角的三角形） （3 ）位置关系（平行、垂直） （4 ）等量转化（相似、全等对应角，圆周角圆心角） 2 方法：（a ）路径法（b ）计算法 二、∠A= ∠B 的方法解析 1. 路径法——倒角最基本的方法 路径法的基本步骤是首先识别∠A 与∠B 各是上述六类角度中的哪一类角，然后利用等角或者余、 补角关系，把∠A 、∠B 分别转化为相应的∠ A1 、∠B1，然后继续转化∠A1 、∠B1,，如果角度无法转 换，从上一步重新出发，寻找新的转换路径。最后将转换的角度还原到题目条件中，即可完成角度相 等的证明。 路径法中最重要的是 （1）识别角度身份 （2 ）寻找倒角路径 路径法是倒角的基础，但具体的问题也会有倒角的具体注意事项 【例一】如图，在△ABC 中，∠A=40 °，∠B=72°，CE 平分∠ ABC ，CD ⊥AB 于D，DF⊥CE 于F，求∠CDF 度数 【例二】如图，AB 是圆O 的直径，D 是弧AC 的中点，已知∠A=40 °，求∠CBD 的度数 【分 析】从所需要的∠CDF 出发，需要求∠CDF 的度数，只要知道 ∠FCD， 而∠FCD 可以由∠CED （74 °）求出，∠CED 由可以由∠A （40 °）和 ∠ACE （34 °）求出。 【分析】 从∠CBD 出发，∠CBD 是圆周角，利用等弧，发现∠ DBA=∠CBD 。从题目条件出发，AB 是直径，∠C=90 °，∠A=40 °， 所以 ∠CBA=50 °，所以 ∠CBD=25 ° 先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹 人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。——《顾炎武》 2. 方程法 遇到如果题目中给出的角度关系与归纳的六类角度没有关系的时候，往往可以设其中一个角的度 数为α ，然后用α 表示剩余的角度，最后通过方程求解α 或角度关系 【例三】△ABC 中，AC=BC ，D 是BC 上的一点，且满足2∠BAD=∠C，求证：AD ⊥BC 错误！未找 到引用源。 【分析】 “2∠BAD=∠C ”属于题目条件提供的特殊角度关系。 所以利用方程法，设∠BAD=α ，则∠C=2α ，∠ABD= （180°-2α ）/2 。可以得到∠BAD+∠ABD=90 ° 吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？——《论语》 人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。——《顾炎武》 4. 相似全等证明中的倒角证明全等相似，往往有一对角相等比较难以证明，通常采用的都是把 角度拆分，或者设成未知数的方法来进行证明。 【例五】D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M、N、G、H 分别为所在边的中点，求证：△MND≌△MCH，△MCH≌△DGH 【分析】边长关系可以直接由中点和中位线导出，角度关系则要路径法或方程法倒角 5. 利用相似全等对应角倒角 得到一对相似三角形后，如果有倒角，常用三角形外角和内角和来进行计算。 【例六】AB=2BC ，AE=AB ，D 为AB 中点，∠EAD=120°，∠B=120°，求证（1）△EAD≌△ABC （2 ）求∠EFA 的度数 我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。——《白居易》 老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。——《顾炎武》