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高中数学抛物线练习题 高中数学《抛物线》练习题 一、选择题: 1. 函数y=ax^2+1的图象与直线y=x相切,则a=(B)。 2. 过抛物线y=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(A)有且仅有一条。 3. 抛物线x^2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为(C)4。 4. 已知双曲线的中心在原点,离心率为3。若它的一条准线与抛物线y=4x的准线重合,则该双曲线与抛物线y=4x的交点到原点的距离是(D)21。 5. 抛物线y=4x^2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(A)1。 6. 双曲线x^2y^2-1(mn≠0)离心率为2,有一个焦点与抛物线y^2=4x的焦点重合,则mn的值为(D)8/3。 二、填空题: 7. 顶点在原点,焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是y^2=24x。 8. 若抛物线y=1/2x^2-2x+m的焦点在x轴上,则m的值是-1。 9. 过(-1,2)作直线与抛物线y=4x只有一个公共点,则该直线的斜率为-2/3。 10. 抛物线y=2x为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是y=2x^2-2。 三、解答题: 11. 如图,M是抛物线上y^2=x上的一点,动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点,且MA=MB。 (1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值; (2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹。 解答: (1)由题意可知,A、B两点在x轴上,故A、B的横坐标分别为-x和x。设M的坐标为(t,t^2),则E、F的坐标分别为(-t,0)和(t,0)。直线EF的斜率为 k=(0-(t^2-0))/(-t-t)=t/(t+1)。 因此,直线EF的斜率为定值t/(t+1)。 (2)设抛物线的焦点为F,顶点为O。则O为坐标原点。由题意可知,ME、MF分别为抛物线的两条准线。由于∠EMF=90°,故ME、MF互相垂直。设H为EF的中点,则H的坐标为(0,t^2/2)。由于EF的斜率为t/(t+1),故EF的方程为y=t^2/(t+1)x。设G为△EMF的重心,则G的坐标为(0,(t^2+1)/3)。因此,G的轨迹为y=(x^2+1)/3。 12. 已知抛物线y^2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M。 (1)求抛物线方程; (2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标; (3)以M为圆心,MB为半径作圆M。当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系。当m1时,AK与圆M相交。 解答: (1)由题意可知,抛物线的焦点为F(0,p),直线x=4与抛物线的交点为A(4,y),A到抛物线准线的距离为5,故抛物线的准线为y=-p。设B的坐标为(x,0),则OB的中点M的坐标为((x+4)/2,0)。由于B在抛物线上,故y^2=2px。又因为B在直线AB上,故x=4+y。因此,代入y^2=2px中,得到(4+y)^2=8py。化简后可得抛物线的方程为y^2=8x。 (2)由题意可知,MN⊥FA,故MN的斜率为-p/2。设N的坐标为(x,y),则MN的方程为y-p=y^2/4px(由抛物线的性质得到)。又因为MN⊥FA,故MN的斜率为2p/y。因此,有y-p=y^2/8x。联立两式可得x=2p/y,代入y^2=8x中,可得y=2√2p。因此,点N的坐标为(2p/(2√2p),2√2p)=(√2p,2√2p)。 (3)以M为圆心,MB为半径作圆M。设K(m,0)为x轴上的动点,则AK的斜率为(0-2√2p)/(m-4),故AK的方程为y-2√2p=(2√2p/m-4)(x-4)。设AK与圆M的交点为P,则P到M的距离为MB。因此,有(x-Mx)^2+y^2=MB^2。代入AK的方程中,可得(x-Mx)^2+((2√2p/m-4)(x-4)-2√2p)^2=(MB)^2。化简后可得(m-2√2p)^2+16(x-2√2p)^2=16MB^2。因此,当m1时,方程的解集为一个圆,且圆心为(2√2p,m),半径为2MB。当m=1时,方程的解集为一条直线。当m1时,方程无解。

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