第二讲 任意角的三角函数.pdf

我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。——《白居易》 第二讲 任意角的三角函数 二、任意角的三角函数(一) 【学习目标】 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等． 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设 P(x ，y)，|OP|＝r. 思考 1 角α 的正弦、余弦、正切分别等于什么？ y x y 答案 sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ . r r x 思考 2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α 的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x ，y)在终边上的位置无关，只与角α 的终边位置有关， 即三角函数值的大小只与角有关． 思考 3 在思考1 中，当取|OP|＝1 时，sin α，cos α，tan α 的值怎样表示？ y 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝ . x 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． (2)定义 以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子·牧民》 吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？——《论语》 在平面直角坐标系中，设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么： ①y 叫做α 的正弦，记作sin_α， 即sin α＝y ； ②x 叫做α 的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； y y ③ 叫做α 的正切，记作tan_α，即tan α＝ (x ≠0) ． x x 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x ，y)， y 则 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝ (x ≠0) ．当α 为第一象限角时，y0, x0，故 sin α0，cos α0，tan α0，同 x 理可得当 α 在其他象限时三角函数值的符号，如图所示． 梳理 记忆口诀： “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点三 诱导公式一 思考 当角 α 分别为 30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？ 答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。——《汤显祖》 人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗 梳理 诱导公式一 sinα＋k ·2π ＝sin α， cosα＋k ·2π ＝cos α， tanα＋k ·2π ＝tan α， 其中k ∈Z. 类型一 三角函数定义的应用 命题角度 1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值 10 例 1 已知θ终边上一点 P(x,3)(x ≠0)，且cos θ＝ x ，求 sin θ，tan θ.