第一章 §1 周期变化 §2 任意角.pdf

勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备 §1 周期变化 §2 任意角 学习目标 1.理解周期与周期函数的概念.2.了解角的概念，掌握正角、负角和零角的概念， 理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角． 知识点一 周期函数与周期 1．周期函数与周期的概念 一般地，对于函数 y ＝f (x)，x ∈D ，如果存在一个非零常数 T，使得对任意的x ∈D ，都有x ＋ T ∈D ，且满足f (x ＋T) ＝f (x)，那么函数y ＝f (x)称作周期函数，非零常数 T 称作这个函数的周 期． 2 ．最小正周期：如果在周期函数 y ＝f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小 正数就称作函数y ＝f (x) 的最小正周期．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周 期． 思考 常数函数是周期函数吗？存在最小正周期吗？ 答案 根据周期函数的定义知，常数函数是周期函数，但不存在最小正周期． 知识点二 角的相关概念 1．角的概念：平面内一条射线 OA 绕着它的端点 O 按箭头所示方向旋转到终止位置 OB，形 成角 α. 其中点 O 是角 α 的顶点，射线 OA 是角 α 的始边，射线 OB 是角 α 的终边． 2 ．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。——《顾炎武》 负角 按顺时针方向旋转形成的角 一条射线没有作任何旋转，称它形成 零角 了一个零角 知识点三 象限角 在平面直角坐标系内，使角的顶点在坐标原点，角的始边在 x 轴的非负半轴，终边在第几象 限就是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． 知识点四 终边相同的角 终边相同角的表示 一般地，给定一个角 α，所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，可构成一个集合 S ＝{β|β ＝α＋k ×360° ，k ∈Z}，即任何一个与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与周角的整数 倍的和． 1．经过 1 小时，时针转过 30°.( × ) 2 ．小于 90°的角是锐角．( × ) 3 ．钝角是第二象限角．( √ ) 4 ．第二象限角是钝角．( × ) 一、函数周期性的应用 例 1 已知周期函数y ＝f (x) 的图象如图所示． (1)求函数的周期； (2)求f (7.5)； (3)写出函数y ＝f (x) 的解析式． 解 (1)由函数 y ＝f (x)的图象可知周期 T ＝2. (2)f (7.5) ＝f (4 ×2 －0.5) ＝f ( －0.5) ＝0.5. (3)当－1≤x ≤0 时，f (x) ＝－x ； 当 0 ≤x ≤1 时，f (x) ＝x ， 非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮 云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》 所以当2n －1≤x ≤2n 时，f (x) ＝f (x －2n) ＝－(x －2n) ， 当2nx ≤2n ＋1 时，f (x) ＝f (x －2n) ＝x －2n ， 所以f (x) ＝|x －2n| ，x ∈[2n －1,2n ＋1] ．