线性代数讲义-(3)矩阵2.pptVIP

二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 五、小结 思考题 思考题解答 第1节 矩阵的定义 第2节 矩阵的运算 第3节 逆矩阵 第4节 线性方程组的矩阵解法 第 2 章 矩 阵 第2节 矩阵的运算 第2章 线性方程组 第2节 矩阵的运算 １、定义 一、矩阵的加法 设有两个 m ? n 矩阵 A = ( aij ), B = ( bij ), 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A + B，规定为 a11 + b11 a12 + b12 ? a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 ? a2n + b2n ? ? ? am1 + bm1 am2 + bm2 ? amn + bmn A + B = 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 例1 12 3 –5 1 –9 0 + 3 6 8 1 8 9 6 5 4 3 2 1 12 + 1 3 + 8 –5 + 9 = 1 + 6 –9 + 5 0 + 4 3 + 3 6 + 2 8 + 1 13 11 4 = 7 –4 4 . 6 8 9 第2章 线性方程组 第2节 矩阵的运算 补充例 –a11 –a12 ? –a1n –a21 –a22 ? –a2n ? ? ? –am1 –am2 ? –amn –A = = ( –aij ), 称为矩阵 A 的负矩阵. 由此定义矩阵的减法： A – B = A + (–B ) . 第2章 线性方程组 第2节 矩阵的运算 2、 矩阵加法的运算规律 (1) A + B = B + A; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) . (3) A + ( –A ) = O . 第2章 线性方程组 第2节 矩阵的运算 1、定义 数 k 与矩阵 A 的乘积记作 kA 或 Ak, 规定为 ka11 ka12 ? ka1n ka21 ka22 ? ka2n . ? ? ? kam1 kam2 ? kamn kA = Ak = 第2章 线性方程组 第2节 矩阵的运算 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. ( 设 A、B 为 m ? n 矩阵，k, l 为数 ) (1) k ( l A ) = ( kl ) A; (2) ( k + l ) A = kA + lA; (3) k ( A + B ) = kA + kB. 第2章 线性方程组 第2节 矩阵的运算 １、定义 并把此乘积记作 设 A = ( aij ) 是一个 m ? n 矩阵, B = ( bij ) 是一个 n ? t 矩阵, 那末规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 是一个 m ? t 矩阵 C = ( cij )，其中 C = AB. cij = ai1b1j + ai2b2j + ? + ainbnj = ail blj n ? l =1 ( i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, t ) 第2章 线性方程组 第2节 矩阵的运算 注意到，C = AB 的 i 行 j 列元素 cij 仅与 A 的第 i 行 和 B 的第 j 列有关，因为 cij = ai1b1j + ai2b2j + ? + ain bnj = ( ai1 ai2 … ain ) b1j b2j ? bnj 第2章 线性方程组 第2节 矩阵的运算 例2 求矩阵 A = 与 B = 的乘积 AB. 1 0 3 –1 2 1 0 2 4 1 0 –1 1 3 2 0