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我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。——《白居易》 第一章 函数与极限问答题 1 ．本章的基本概念是函数、极限和连续，简要概括这些概念在整个微积分中的地位与 作用。 答：这几个概念是微积分学的基础。连续函数是微积分学的主要研究对象，极限方法 是微积分学的基本研究方法。 2 ．无界函数与无穷大的区别是什么？ 答：无穷大一定是无界函数，但是无界函数不一定是无穷大。无穷大是在某个极限过 程中整体趋势都是很大，而无界函数的很大不是整体趋势。例如 x 与 sinx 的乘积当 x 趋于 无穷大时是无界的，但不是无穷大(因为该函数在这个极限过程中始终有等于 0 的点存在， 即并不是整体趋于的)。 u u 3 ．复合函数的极限的计算中，为什么要注意验证 ，如果该条件不成立，原来的 0 计算结论会不成立吗？ y f (u) u g (x ) y f [g (x)] f (u) u u 答：对于由 与 构成的复合函数 ，如果函数 在 处连 0 续，那么 g (x) u 时结论仍成立，否则可能不成立。 0 f (u)  sgn(u) g (x) 例如 ，当 时极限为 1 ；但是如果 为常函数 0 ，则当 时, u 当 u 0 x 0 然趋于 0,但复合函数的极限为 0 ，而不是1。 y x z (n 1,2,3, ) 4 ．数列极限存在准则中的条件 是否可以改为： ，当 时， N n N n n n 其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》 我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。——《白居易》 y x z 。为什么？ n n n 答：可以。因为数列极限研究的是n 时的趋势，与前面有限项的大小无关。换句话 说，去掉前面不符合 y x z 的有限项之后形成的新的三个数列的极限其实和以前的三个 n n n 数列的极限相等。 5 ．无穷小之和一定是无穷小吗？举例说明。 答：不一定。正确的说法是有限个无穷小之和仍然是无穷小。 1 n(n 1)