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大学微积分经济管理类第1页/共144页 第四章 微分中值定理和导数的应用· 2 ·4.14.24.34.44.54.6 数学是科学的大门和钥匙. ——培根（R.Bacon，1214—1294） 数学是科学和技术的基础；没有强有力的数学就不可能有强有力的科学．——美国国家研究委员会第2页/共144页 小 知 识· 3 ·R.培根，英国方济各会修士，哲学家、科学家和教育改革家，号称“万能博士”．他深知获取可靠知识的方法．在数学、力学、 光学、天文学、地理学、化学、音乐、医学、文法、哲学、伦理学和神学等方面都有不平凡的著作，他强调数学和实验，在他的著作《大作》中曾企图证明所有科学都需要数学. 但他也充分认识到实验对科学发现和验证理论的作用和重要性, 并预见科学造福于人类的伟大前景. 第3页/共144页 · 4 · 导数概念刻画了函数的一种局部特性．联系导数和函数的纽带是微分中值定理, 它是用导数来研究函数性态的理论基础, 从而也成为导数应用的理论基础． 本章首先介绍微分中值定理, 随后以之为基础介绍了导数的几个重要应用：求未定式的值（洛必达法则）, 函数的单调性和曲线的上、下凸性（函数的凹凸性）及拐点的判定, 函数的极值和最值的求法, 以及绘制函数图形的基本方法．第4页/共144页 4.1 微分中值定理 · 5 ·4.1.14.1.24.1.34.1.4罗尔定理 拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式第5页/共144页 · 6 ·4.1.1 罗尔定理 首先介绍发现于微积分产生之初的一个著名定理——费马引理, 它具有重要的应用． 费马 (Fermat) 引理 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域 U(x0) 上有定义, 并在 x0 点可导．如果f (x) ≥ f (x0) (或 f (x) ≤ f (x0)) (?x∈U(x0))，则 f ?(x0) = 0． 这个引理的几何含义是：在引理的假设下, 点 P0( x0, f ( x0) ) 位于曲线 C：y = f (x) (x∈U(x0)) 的 “谷底”（或 “峰顶”）（如图 4-1）, 这时 C 在点P0 的切线必是水平的．图 4-1第6页/共144页 · 7 · 费马 (Fermat) 引理 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域 U(x0) 上有定义, 并在 x0 点可导．如果f (x) ≥ f (x0) (或 f (x) ≤ f (x0)) (?x∈U(x0))，则 f ?(x0) = 0． 证 设自变量 x 在点 x0 处有改变量Δx, 且 x0＋Δx ∈ U(x0),由假设, f (x0 ＋Δx) ≥ f (x0), 从而函数 f (x) 相应的增量Δy = f (x0＋Δx) －f (x0) ≥ 0,故当Δx 0 时 当Δx 0 时 由极限的保号性质, 有因 f (x) 在 x0 可导, 故 所以必有 f ?(x0) = 0. 对于 f (x) ≤ f (x0) (?x ∈ U (x0)) 的情形, 可以同样证明.第7页/共144页 小 知 识· 8 ·费马(P.deFermat,1601—1665), 法国数学家．与笛卡儿(R.Descartes,1596—1650)同时创立了解析几何，也是创立微积分的一位先驱．1629年他创造了求切线的方法,但直到1637年才在他的手稿《求最大值和最小值的方法》中被发现.费马初学法律,博览群书,年近30岁才利用公务之余钻研数学，在数论、概率论等方面均有重大贡献.被誉为“业余数学家之王”,他只发表了很少几篇论文,在去世后，其子把他遗留在旧纸堆里、书页空白处和给朋友的书信中的很多论述汇集成书，于1679年分两卷出版.第8页/共144页 · 9 · 通常称导数 f ?(x) 等于零的点为函数 f (x) 的驻点（或稳定点、临界点）. 所以费马引理中的点 x0 是 f (x) 的驻点． 罗尔 (Rolle) 定理 设函数 y = f (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a,b) 上可导, 且 f (a) = f (b), 则 ?ξ∈(a, b), 使得 f ?(ξ) = 0． 这个定理的几何意义是：如果光滑曲线Γ：y = f (x) (x∈[a,