八年级二次根式(教师讲义带答案).pdf

丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫 学习必备 欢迎下载 第五章 二次根式 【知识网络】 知识点一： 二次根式的概念 形如 （ ）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方 根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等 都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式 有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时， 没有意义。 知识点三：二次根式 （ ）的非负性 （ ）表示a的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（ ）。 注：因为二次根式 （ ）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负 人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。——《顾炎武》 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。——《顾炎武》 学习必备 欢迎下载 数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、 偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（ ） 的性质 （ ） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式 （ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若 ， 则 ，如： ， . 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即 ； 若a是负数，则等于a的相反数-a,即 ； 2、 中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值， 一定有意义； 3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六： 与 的异同点 1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数a的算术平方根的平方，而 表示一个实数a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中a可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数， 即 ， 。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而 . 知识点七：二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广： a  a  a   a  a a a  a (a 0，a 0，a 0， ，a 0) 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n 2．二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括 号里面的