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海纳百川,有容乃大;壁立千仞,无欲则刚。——林则徐
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、基础知识
1.平面的基本性质
(1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
(2)公理 2 :过不在一条直线上的三点,
有且只有一个平面.
(3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共
直线.
2 .空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
平行
共面直线
相交
异面直线:不同在任何一个
平面内
(2)异面直线所成的角
①定义:设 a,b是两条异面直线,
经过空间任一点 O作直线
a′∥a,b′∥b,把a′与 b′所成的
锐角(或直角)叫做异面直线a与 b所成
的角(或夹角) .
π
②范围: 0, .
2
(3)公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(4)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
3 .空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外,记
作l⊄α.
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
1
云路鹏程九万里,雪窗萤火二十年。——《王实甫》
百川东到海,何时复西归?少壮不尽力,老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》
二、常用结论
1.公理2 的三个推论
推论 1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.
推论 2 :经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面.
2 .异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
3 .唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
考点一 平面的基本性质及应用
[典例] 如图所示,在正方体 ABCDA B CD 中,E,F 分别是 AB
1 1 1 1
和AA 的中点.求证:
1
(1)E,C,D ,F 四点共面;
1
(2)CE,DF,DA三线共点.
1
[证明] (1)如图,连接 EF,CD ,A B.
1 1
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