高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系).pdf

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、基础知识 1．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理 2 ：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面. (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线． 2 ．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系  平行 共面直线  相交 异面直线：不同在任何一个  平面内 (2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b是两条异面直线， 经过空间任一点 O作直线 a′∥a，b′∥b，把a′与 b′所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a与 b所成 的角(或夹角) ． π   ②范围： 0， .   2 (3)公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3 ．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况. 直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记 作l⊄α. (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 1 云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》 百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》 二、常用结论 1．公理2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论 2 ：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2 ．异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 3 ．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 考点一 平面的基本性质及应用 [典例] 如图所示，在正方体 ABCD­A B CD 中，E，F 分别是 AB 1 1 1 1 和AA 的中点．求证： 1 (1)E，C，D ，F 四点共面； 1 (2)CE，DF，DA三线共点． 1 [证明] (1)如图，连接 EF，CD ，A B. 1 1