高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系).pdf

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海纳百川,有容乃大;壁立千仞,无欲则刚。——林则徐 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、基础知识 1.平面的基本性质 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. (2)公理 2 :过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面. (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线. 2 .空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系  平行 共面直线  相交 异面直线:不同在任何一个  平面内 (2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b是两条异面直线, 经过空间任一点 O作直线 a′∥a,b′∥b,把a′与 b′所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a与 b所成 的角(或夹角) . π   ②范围: 0, .   2 (3)公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行. (4)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 3 .空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况. 直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外,记 作l⊄α. (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 1 云路鹏程九万里,雪窗萤火二十年。——《王实甫》 百川东到海,何时复西归?少壮不尽力,老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》 二、常用结论 1.公理2 的三个推论 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面. 推论 2 :经过两条相交直线有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面. 2 .异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. 3 .唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 考点一 平面的基本性质及应用 [典例] 如图所示,在正方体 ABCD­A B CD 中,E,F 分别是 AB 1 1 1 1 和AA 的中点.求证: 1 (1)E,C,D ,F 四点共面; 1 (2)CE,DF,DA三线共点. 1 [证明] (1)如图,连接 EF,CD ,A B. 1 1

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