密铺玫瑰花结-构造迷幻螺旋.pdf

密铺玫瑰花结-构造迷幻螺旋 我们在此描述了风筝式密铺的一些特性以及风筝式密铺在艺 术和娱乐数学方面的广泛用途。密铺式花环是一种具有单个花环形 状原型和一个奇异点的花环，花环对该奇异点具有旋转对称性。具 有n次对称性的拼块是由n个大小相同的风筝环组成的，风筝的 大小随着远离奇异点的距离增加。原形可以是凸的，也可以是凹 的。对于所有n2的风筝形状，以及对于n=2的凹形风筝，都可 以构建这样的密铺。相邻环形拼块的有限拼块可以作为构建结和链 接的脚手架，其股线位于拼块的边缘。这样的拼块可以作为吸引人 的图形设计和埃舍尔艺术作品的方便模板。此外，这些拼块还可以 用作各种谜题和游戏的网格，特别适合于泛对角线的魔法方块。还 探讨了通过赋予拼块厚度而创造的三维结构。 介绍 广义上来说，玫瑰花结是像花一样的设计或物体，或者具有旋转对 称的单点。它们通常也包含穿过旋转中心的镜像对称线。图1a所 示类型的具有n重旋转对称的基于菱形的密铺玫瑰花结是相对公知 的，并且可以为大于2的任何n构建。菱形莲座是边对边的；即拼 块的角和边与密铺的顶点和边重合。除了图4的埃舍尔变体之外， 这里描述的玫瑰花结也是如此。 定义为覆盖平面而没有间隙或重叠的闭集(拼块)的有限系列。一个 拼块是不完全覆盖平面的有限拼块集合。虽然拼块片通常是简单连 接的，但本文中的图将是拼块的“环形片”,中间有一个洞。根据 Grünbaum和Shephard的标准，这里描述的拼块是“性能良 好”的；也就是说，每个拼块是一个(封闭的)拓扑圆盘。然而，按 照正常密铺的标准，玫瑰花结并不“表现良好”;也就是说，它们 在旋转中心包含一个奇点，定义如下。每一个圆盘，无论多小，以 奇点为中心，都会遇到无数的拼块；即，当接近这些点时，拼块变 得无限小。 之前，我们描述了基于风筝形和飞镖形四边形原型的分形密铺系列 [1]。在这些分形密铺中有一些区域可以被描述为风筝、飞镖和等 边三角形的玫瑰花结(图1)。图1b、c和d中的风筝玫瑰花结覆盖 了无限数学平面，而图la中的菱形玫瑰花结没有覆盖。虽然这里 讨论的这种风筝密铺玫瑰花结以前肯定是已知的，但我们不知道有 一篇论文专门讨论它们的描述和性质。注意，风筝环在玫瑰花结中 很常见，是伊斯兰密铺的构建材料，它们总是与其他多边形结合在 一起。我们在这里描述了风筝密铺玫瑰花结的一些性质，以及风筝 密铺玫瑰花结在艺术和娱乐数学中的广泛应用。 (a) (b) (c) (d) 风筝玫瑰花结；c)n =4等腰三角形玫瑰花结；和d)n = 2飞镖玫 瑰花结。 风筝密铺玫瑰花结的性质 风筝是四边形的，有两对彼此相邻的等长边。它们左右对称，可以 是凸的也可以是凹的。凹形风筝通常被称为飞镖。凸凹风筝的边界 线是一个等腰三角形，两个短边共线。 在风筝密铺的玫瑰花结中，所有的拼块都是相似的；即只有一个原 拼块。在n重玫瑰花结中，拼块排列成n个风筝的环，相邻环之 间的比例因子由原型拼块的短边与长边的长度之比给出。单一原型 拼块和n重对称一起要求风筝成比例，使得侧角和顶角之和为 180-180/n。这些玫瑰花形在旋转中心有一个奇点，并且它们是 两种可着色的。对于所有n2的情况，存在连续的风筝形状，对 于n=2的情况，存在连续的凹形风筝形状。 图2中示出了n=6的一些例子，说明了几种特殊情况和极限。 在图2a中，风筝的侧角比150°的极限角小1°,此时风筝将无限 长。更一般地，该角度为180°-180/n。在图2b中，每圈风 筝的内边界和外边界描述了正n形的第一个星形，其风筝侧角为 540/n。在图2d中，边界为正n形，其风筝侧角为180°/ n。在另一个极限中，风筝的侧角为0°,图2f中使用的角度为 1°。在这个极限中，边界描绘了一个正2n边形。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) f)1°的六重风筝密铺玫瑰花结。 螺旋由图3所示种类的边链描述。对于给定的n,连续线段之间的 角度固定在180-180/n。螺旋中连续线段的比率由原型拼块中两个 边长的比率给出。 (a)」 (b) (c) 图3:由n=3个风筝密铺玫瑰花结定义的一些螺旋。 基于风筝密铺玫瑰花结的埃舍尔艺术 与