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万两黄金容易得,知心一个也难求。——《曹雪芹》
第 17 章:二次根式
第一课时:二次根式的概念与性质
知识点 1:二次根式的定义:
(1) 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
(2 ) a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根
(3 ) 二次根式的要求
① 根指数为 2
② 被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等,但必须是非负数
类型一:二次根式的识别
例 1:已知式子 2 3
① 2;② x 1;③ 3;④ 10;⑤ 4;⑥ a 1,
其中一定是二次根式的是 ①②④ 。
知识点 2:二次根式中字母的取值范围:
(1) 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0 。
(2 ) 二次根式无意义的条件:被开方数小于0
(3 ) 二次根式做分母时: 被开方数大于 0.
类型一:求字母的取值范围
例 1:x 取何值时,下列各式有意义?
1 3 x 1
( 1) x 5 (2)
x 6 2 x 1 x 2
x 5 ≥ 0
解:( 1 )由题意知 解得 x ≥ 5且 x ≠ 6.
x 6 ≠ 0
1
所以当 x ≥ 5且 x ≠ 6 时 x 5 有意义
x 6
3 x ≥ 0
1
(2 )由题意知 2 x 1> 0 解得 < x≤ 3且 x≠ 2
2
x 2 ≠ 0
1 3 x 1
所以当 < x≤ 3且 x≠ 2 时 有意义
2 2 x 1 x 2
类型二:根据字母隐含的的取值范围,求代数式的值(较难)
x 2 4 4 x 2 1
例 2 :若x、y为实数,且y , 求 x y 的值
x 2
分析:要使 x 2 4有意义,则x 2 4≥0 ,即x 2 ≥4,
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