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天行健,君子以自强不息。地势坤,君子以厚德载物。——《易经》
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不等式的性质及解法
知识要点:
不等式与等式有许多不同,主要包括:
1、等式两边同乘(或除)以一个数(或式),等式仍然成立;不等式两边同乘
(或除)以一个数(或式),不等式能否成立,要考虑该数(式)的符号,
ac bc(c 0)
即a b ac bc(c 0)
ac bc(c 0)
2、解方程时允许出现不等价转化,出现增根时以验根弥补;解不等式要求必须
是等价转化。
3、解方程组时,方程组中的方程之间允许进行加、减等运算,以达到消元目的;
解不等式组时,不等式组中的不等式之间只能独立求解,再求交集。
不等式的性质可分为:
a b a b 0
1、公理 这也是将不等式问题——比较两个实数 a 、b 的大小,
a b a b 0
转化为恒等变形问题的依据。
2、基本性质:
(1) 对称性 a b b a
这个性质等式中也存在,即a b b a ,
对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式,如:a b 2ab(a, b R )
这个基本不等式本身就有a 2 b2 2ab 及2ab a 2 b2 两种形式,要能灵活运
用。当然若进行等价转化还会有许多变式。
(2 ) 传递性 a b, b c a c
这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据,是放缩法证明不等式的依据。
(3 ) 移项法则 a b a c b c
如:x 3 2 x 1,相当于在x 3 2 这个不等式两边同时加上- 3 得到
的。
3、运算性质:
(1)加法运算:a b, c d a c b d
(2 )减法运算:统一成加法运算 a b, c d a b,d c a d b c
(3 )乘法运算:a b o, c d 0 ac bd 0
(4 )除法运算:统一成乘法运算
1 1 a b
a b 0, c d 0 a b 0, 0 0
d c d c
1 1 1
(由 y 在(0 ,+ )上是减函数,c d 0 0 )
x d c
(5 )乘方运算: n n
a b 0 a b (n N , n 2)
(6 )开方运算: n
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