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谋事在人,成事在天!——《增广贤文》
二次根式的定义与性质
二次根式基本知识点
a a
1.二次根式:式子 ( ≥0 )叫做二次根式。
2.最简二次根式:必须同时满足下列条件:
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;
⑵被开方数中不含分母;⑶分母中不含根式。
3. 同类二次根式:
1°二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
2 °合并同类二次根式
合并同类二次根式,只把系数相加减,根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算
中的合并同类项类似)
注意:(1)根号外面的因式就是这个根式的系数;
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式;
(3)不是同类二次根式,不能合并
4.二次根式的性质:
a
a ( >0)
2
a a a a a
2
(1)( )= ( ≥0 );(2 ) a
0 ( =0);
a
a ( <0)
ab a b
(3 )积的算术平方根的性质: (a≥0,b≥0 ),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平
方根的积.
a a
b b a 0 b 0
(4 )商的算术平方根的性质 ( , ) ,即商的算术平方根等于被除式的算术平方
根除以除式的算术平方根.
二次根式的考点
考点一:二次根式的概念
形如 a ( )的式子叫做二次根式。【注】:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、
多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以 是 为二次根式的前提条件,
如 , , 等是二次根式,而 , 等都不是二次根式。
考点二:取值范围
1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当 a ≧0 时, 有意义,是二次根式,所以要使二
次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件:因
负数没有算术平方根,所以当 a ﹤0 时, 没有意义。
考点三:二次根式 ( )的非负性
宠辱不惊,看庭前花开花落;去留无意,望天上云卷云舒。——《洪应明》
常将有日思无日,莫待无时思有时。——《增广贤文》
( )表示a 的算术平方根,也就是说, ( )是一个非负数,即 0 ( )。
【注】:因为二次根式 ( )表示a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根
是0,所以非负数( )的算术平方根是非负数,即 0 ( ),这个性质也就是非负数的算术
平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若 ,则a=0,b=0 ;
若 ,则a=
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