初二第四讲 二次根式的定义及性质.pdf

谋事在人，成事在天！——《增广贤文》 二次根式的定义与性质 二次根式基本知识点 a a 1.二次根式：式子 （ ≥0 ）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3. 同类二次根式： 1°二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 2 °合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算 中的合并同类项类似) 注意：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 4.二次根式的性质： a a （ ＞0） 2 a a a a  a  2 （1）（ ）= （ ≥0 ）；（2 ） a 0 （ =0）； a a （ ＜0） ab  a  b （3 ）积的算术平方根的性质： （a≥0，b≥0 ），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平 方根的积. a a  b b a 0 b 0 （4 ）商的算术平方根的性质 （ ， ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方 根除以除式的算术平方根. 二次根式的考点 考点一：二次根式的概念 形如 a （ ）的式子叫做二次根式。【注】：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、 多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件， 如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。 考点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a ≧0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二 次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因 负数没有算术平方根，所以当 a ﹤0 时， 没有意义。 考点三：二次根式 （ ）的非负性 宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。——《洪应明》 常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》 （ ）表示a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0 （ ）。 【注】：因为二次根式 （ ）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根 是0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0 （ ），这个性质也就是非负数的算术 平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则a=0,b=0 ； 若 ，则a=