初二第四讲 二次根式的定义及性质.pdf

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谋事在人,成事在天!——《增广贤文》 二次根式的定义与性质 二次根式基本知识点 a a 1.二次根式:式子 ( ≥0 )叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母;⑶分母中不含根式。 3. 同类二次根式: 1°二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 2 °合并同类二次根式 合并同类二次根式,只把系数相加减,根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算 中的合并同类项类似) 注意:(1)根号外面的因式就是这个根式的系数; (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式; (3)不是同类二次根式,不能合并 4.二次根式的性质: a a ( >0) 2 a a a a  a  2 (1)( )= ( ≥0 );(2 ) a 0 ( =0); a a ( <0) ab  a  b (3 )积的算术平方根的性质: (a≥0,b≥0 ),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平 方根的积. a a  b b a 0 b 0 (4 )商的算术平方根的性质 ( , ) ,即商的算术平方根等于被除式的算术平方 根除以除式的算术平方根. 二次根式的考点 考点一:二次根式的概念 形如 a ( )的式子叫做二次根式。【注】:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、 多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以 是 为二次根式的前提条件, 如 , , 等是二次根式,而 , 等都不是二次根式。 考点二:取值范围 1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当 a ≧0 时, 有意义,是二次根式,所以要使二 次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件:因 负数没有算术平方根,所以当 a ﹤0 时, 没有意义。 考点三:二次根式 ( )的非负性 宠辱不惊,看庭前花开花落;去留无意,望天上云卷云舒。——《洪应明》 常将有日思无日,莫待无时思有时。——《增广贤文》 ( )表示a 的算术平方根,也就是说, ( )是一个非负数,即 0 ( )。 【注】:因为二次根式 ( )表示a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根 是0,所以非负数( )的算术平方根是非负数,即 0 ( ),这个性质也就是非负数的算术 平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若 ,则a=0,b=0 ; 若 ,则a=

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