《高等数学》第八章第三节 幂级数.pptx

第八章无穷级数 目录第1节数项级数第2节常数项级数的审敛法第3节幂级数第4节函数的幂级数展开第5节傅里叶级数第6节函数的傅里叶级数展开 第3节 幂级数幂级数及其审敛法幂级数的性质 幂级数及其审敛法定义1 设函数项级数 定义在区间 上，若对于每一个确定的 值，函数项级数 成为常数项级数 ，即若级数 收敛，则称 为函数项级数的收敛点，函数级数收敛点的集合称为收敛域.若级数 发散，则称 为函数项级数的发散点，函数级数发散点的集合称为发散域. 幂级数及其审敛法易知，在收敛域上，函数项级数 的和 为 的函数 ，称此函数为函数项级数 的和函数，和函数的定义域即为函数级数项级数的收敛域. 函数项级数前 项和，称为函数项级数的部分和，记作在收敛域上，有 ，称 为函数项级数的余项，且有 幂级数及其审敛法特别地，当x0=0，幂级数变为 ，的函数项级数称为 的幂级数，其中常数 称为幂级数的系数.定义2 形如称为x的幂级数. 幂级数及其审敛法定理1(阿贝尔定理) 如果幂级数 当 时收敛，则适合不等式 的 一切 使这幂级数绝对收敛；反之，若幂级数当 时发散， 则适合不等式 的一切 时这幂级数发散．推论 如果幂级数 不是仅在 一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛， 则必有一个确定的正数R存在，使得(1)当 ，幂级数绝对收敛(2)当 ，幂级数发散(3)当 ，幂级数可能收敛也可能发散 幂级数及其审敛法正数R通常叫作幂级数收敛半径，(-R, R)叫作幂级数收敛区间,收敛域的确定需继续考察x=±R的敛散情况定理2 对于幂级数 ，若其系数 满足 (1)当 0ρ+∞时， ，幂级数在(-R, R)内收敛(2)当 ρ=0时， ，幂级数在(-∞, +∞)内收敛(3)当 ρ=+∞时， ，幂级数只在x=0点收敛对于在x=±R，幂级数可能收敛可能发散 幂级数及其审敛法例1 求幂级数 的收敛半径和收敛域．解：因为 ，当 时，级数除去第一项成为交错级数所以收敛半径 ，收敛区间为级数 收敛，则 收敛当 时，级数除去第一项成为调和级数级数 发散，则 发散.综上所述，幂级数的收敛域是 幂级数及其审敛法例2 求幂级数 的收敛半径和收敛域．解：令 ，原幂级数化为 的幂级数因为 ,所以收敛半径 ，收敛区间为当 时，级数 为收敛的交错级数，当 时，级数 为发散的调和级数.所以幂级数 的收敛域为 .当 时， ，所以幂级数 的收敛域为 . 幂级数及其审敛法课堂练习：求下列幂级数的收敛半径及收敛域：答案： 幂级数的性质设幂级数 与