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6 章：偏微分方程数值解法
6.1 对流方程
6.1.1】 考虑边值问题
u = au , 0 x 1,t 0
Ï t x
Ô
u t u t
Ì x (0, ) = 0, (1, ) = 1
Ô
u x x
Ó ( , 0) =
如果取： Dx = 2 / 7 ，x = (j - 0.5)Dx , j = 1, 2,3 ，Dt = 8 / 49 ，t = kDt
j k
求出 1 1 1
u ,u ,u
1 2 3
【解】采用Crank-Nicolson 方法
1 Èuk +1 - uk ˘ = 1 (uk - 2uk + uk + uk +1 - 2uk +1 + uk +1 )
Dt Î j j ˚ 2Dx2 j -1 j j +1 j -1 j j +1
-uk +1 + 3uk +1 - uk +1 = uk - uk + uk
j -1 j j +1 j -1 j j +1
k k
u - u
由边界条件： (0, ) = 0 ，取 1 0 = 0 ， k k
ux t u1 = u0 , k = 0, 1,L
Dx
u(1,t) = 1 ，uk = 1
4
k +1 k
È-1 1 0 0 L ˘ Èu0 ˘ È0 0 0 0 L ˘ Èu0 ˘
Í ˙ Í ˙ Í ˙ Í ˙
Í-s (1+2s) -s 0 L ˙ Íu1 ˙ Ís (1-2s) s 0 L
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