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矩阵分析模拟试题及答案 一.填空题(每空3分,共15分) 1. 设为3阶方阵, 数, , 则= -24． 2. 设向量组，，，，则=2． 3. 已知，是3阶非零矩阵，且，则1/3． 4．设矩阵与相似，则=-1． 5. 若二次型是正定二次型，则的取值范围是． 二.单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，记，，在则（ D ） 2. 设是4阶矩阵，且的行列式，则中（ C） 必有一列元素全为0 必有两列元素成比例 必有一列向量是其余列向量的线性组合 任意列向量是其余列向量的线性组合 3． 设与均为3阶方阵, 且与相似, 的特征值为1, 2, 3, 则的特征值为（B ） 2, 1, , , 1, 2, 3 2, 1, 4. 设均为阶方阵，则必有（ C ） 5. 设维向量线性无关，则维向量线性无关的充要条件为（D ） 向量组可由向量组线性表 向量组可由向量组线性表示 向量组与向量组等价 矩阵（）与矩阵（）等价 三. (每小题6分，共12分) (1)计算行列式的值 (2)计算矩阵乘积 解：（1） （2） 四.(12分)已知，，若满足，求. 解： 五. (本题14分)当取何值时，线性方程组 无解，有唯一解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。 解： 方程组无解； 方程组有唯一解； 方程组有无穷多解； 通解为： 六.(本题12分)设有向量组，试求此向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组表示出来。 所以 七.(12分) 已知二次型 求一个正交变换，把化为标准形, 并写出该标准型。 解： 将 单位化得令 则 八.（8分）设阶实对称矩阵满足，证明： 的所有特征值都不等于零。 证明： 假设是的一个特征值，则 又 矛盾，所以的所有特征值都不等于零