直角三角形中成比例的线段(2).docx

直角三角形中成比例线段（二） 一、教学目的和要求 使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。 使学生会解直角三角形中，已知两个条件（至少一边）的题。二、教学重点和难点 掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。三、教学过程 （一）复习、引入 直角三角形有哪些性质？——由学生回答再归纳。 两锐角互余 勾股定理 斜边中线等于斜边一半 （4） 30? 角所对的直角边等于斜边的一半 斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似 根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。 （二）新课 今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。 我们知道?ABC 中， ?ACB ? 90? ， CD?AB 于 D，这里可以得到三对相似三角形， 分别写出它们对应边的比例式。（见图 1） C A D B ?ABC ~ ?ACD , 图 1 AB AC BC ? ? AC AD CD AB AC BC ?ABC ~ ?CBD , ? ? BC CD BD AC CD AD ?ACD ~ ?CBD , CB ? CB ? CD 在上面提到的三对相似三角形中都有一条公共边，但它们不会是对应边，将含有公共边的比例式改写成等积式是(1)中： AC2 ? AD ? AB (2)中BC2 ? BD ? AB (3) 中CD 2 ? BD ? AD 这三个关系式在以前的课本 上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这个结论在以后“圆”中运用较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题，（但注意不可直接使用）。这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系 分析清楚，只要明白是哪两个三角形相似得来的，比例式自然就可写出。 如图 2，CD 是 Rt?ABC 的斜边 AB 上的高，设BC ? a , CA ? b , AB ? c , CD ? h ， AD ? q , DB ? p ，用a、b、c、h、p、q 表示图中的关系。 图 2 勾股定理 (1) a 2 ? b2 ? c 2 (2) h2 ? q 2 ? b2 (3)h2 ? p 2 ? a 2 比例中项关系 h2 ? p ? q (2) a 2 ? p ? c ? p( p ? q) (3)b2 ? q ? c ? q( p ? q) 面积关系 ab ? ch 其它 p ? a 2 CbhaqA C b h a q A D p c B 通过以上关系,我们可以分析出在 Rt?ABC 的六条线段 a、b、c、h、p、q 中知道任意两线段的长，可以求出其它线段的长。下面我们举出几种题型。 例 1 如上图CD 是 Rt?ABC 的斜边AB 上的高。 （1）已知： a ? 3 , b ? 4 , 求：h 解：??ACB ? 90? , CD?AB 32 ? 42a ? ? 32 ? 42 a ? ? b2 ? ab ? ch ? h ? ab ? 12 c 5 注意：求h 要选择其它方法都比较麻烦，利用面积关系最简单。 b2 ? h2（2）已知： b ? 5 , h ? 3 , 求： b2 ? h2 ? q ? ? 4 ?b2 ? q ? c ?c ? b2 ? 52 ? 25 q 4 4 h2 9 9 25 (或? h2 ? p ? q ,? p ? q ? , c ? p ? q ? 4 ? 4 ? ) 4 4 （3）已知： b ? 2 , p ? 3 , 求：h , a 分析：求h ，必先知q ； q 与b、c 有关，而c ? p ? q ，其中 p 是已知线段。解：?b2 ? q(q ? p) ? 4 ? q 2 ? 3q ? q ? ?4 1 q ? 1 2  (得到关于q的一元二次方程 , 只要含有一个未知数就可解) (不合题意, 舍去) 3? h2 ? p ? q ? 3 ? h ? 3 3? a 2 ? p ? c ? 3(3 ?1) ? a ? 2 3 练习：条件如例 1 （1）已知： p ? 25 , h ? 60 , 求：q , a (144 , 65) （2）已知： a ? 3 , p ? 1.8 , 求：c , h (5 , 2.4) （3）已知： a ? 5 , c ? 13 , 求：h , p ( 60 , 25) 13 13 （4）已知： a ? 20 , q ? 9 , 求：c , b (25 , 15) 请同学们充分讨论。目前解题中可以直接使用射影定理，目的为了熟悉直角三角形中边的各种关系。 例 2 已知： ?ABC 中， ?BAC 是直角，AD 是高，AB＝2AC，求证：5AD＝2BC 分析：求证中是研究 AD