高考数学-一道好题的多角度深度解析.docVIP

一道好题的多角度深度解析 1.题目再现 高考数学理科卷有一道以特殊的直角三角形为几何背景，考察三角函数、三角恒等变形、解三角形的好题！原题如下： 在中，，是的中点，若，则 ． 2.思维轨迹 分析一个题目，就是要弄清楚题中的所求是什么？已知有哪些？所求与已知之间的关系如何？已知与所求间的关系能否看明白？ 思维点1：本题中，需求的正弦，而是直角三角形中的一个锐角！再自然的想法是利用直角三角形中锐角三角函数的定义，（这只是初中的知识！），但已知条件中所给直角三角形的三边的长都不知道．要求的正弦，是否一定要求出线段BC和AB长？的正弦值其实是一个比值，因此我只需要找到直角三角形三边中某两边长之间的等量关系即可发现这个比值．这背后其实是函数与方程的观点、思想在引领我们去明晰这种关系，这是捅破这层“卡壳窗户纸”的一道亮光！ 如何利用已知条件，去发现直角三角形三边中某两边长之间的等量关系呢？处在三角形AMB中，再自然的想法是解三角形AMB，但三角形AMB中除了知道正弦值为外，其它什么都不知道！因此将目光锁定在三角形AMB中一下子发现不了明了的关系，需要跳出三角形AMB的限制．图中的三角形还有哪些？还有直角三角形ACB、ACM，与这两个直角三角形ACB、ACM中的角有关系吗？易知，将的正弦转化为两角差的正弦，然后借助公式展开，即 =（1） 设直角三角形ACB中， 则，，，代入（1）可得，从而． 上述想法能否进一步优化？根据同角三角函数基本关系我们知道，一个角的正弦值、余弦值、正切值之间可以相互转化，知一便可知全部．因此将已知和所求角的正弦值转化为先求正切． 另外，选择填空小题，在考试中需要考虑能不能巧做秒杀，以减少运算量，提高运算的正确率．无论是求正弦值还是求正切值，既然是求相关两边长的比值，因此可设其中一边长为1，这样整个运算的量就能减下来． 思维点2：如果我始终将眼光落在三角形AMB中，结合已知若能发现三角形AMB中三边长之间的关系，则直角三角形ACB中三边中任意两边的关系也能知道，从而可求出．设，则，在中由余弦定理可得： ,整理可得解得，．因此． 思维点3：本题破题的关键是找到三角形ACB中三边中任意两边的关系．观察图形发现互补，因此有关系：．设则，由正弦定理可知，而在中，， 所以得到关于k的方程，可到，． 思维点4：从三角形面积关系出发，我们发现，设则，则，从而 ，可到． 具体解法 法一（利用三角函数定义及恒等变形）：由，知，设，则，， 而，得到 ，所以，故，从而． 运算量减少的巧解如下：，则，， 而，得到 ，所以，故，从而． 法二（利用余弦定理）：由，知，设，则， 在中由余弦定理可得： ,整理可得解得，．因此． 法三（利用正弦定理）：设则，由正弦定理可知，而在中，，由图可知，，整理得到：解得． 法四（利用面积关系）：从三角形面积关系出发，我们发现，设则，则，从而 ，可到． 问题本质 若设 则， 的外接圆直径为3,设此外接圆圆心为O，连接AO 并延长AO交圆O于点D，连BD，则 与相似，， 而，因此，，解得， 从而易得 ． 在这里，AC其实与的外接圆相切，从而与相似，． 从上述过程我们发现，若设则当时，，此直角三角形两直角边长之比为，当两直角边长之比为，达到最大．事实上， = ，当且仅当即时取等．即当时，最大，而正切函数在上递增，所以当最大时，最大． 本题题根其实源于人教A版必修5教材P101习题3.4 B组第2题：树顶A 离地面 m,树上另一点B离地面b m,在离地面c m处看此树，离此树多远时看A ,B 的视角最大？ 过点C作CD于点 D，设，则， =当且仅当，即时取得最大，故最大 ． 5. 题后思考 我们发现，本题破题的关键是要发现三角形ACB中三边中其中两边长的关系．由于求的正弦值只与边长间的比值有关，因此可设图形中的某一边长为1，可以减少运算．数学解题离不开计算与变形，如何减少运算量，需要我们去思考，通过思考，优化解法，减少运算．如何减少运算量始终是限时条件下各类考试中必须要考虑的！ 本题等量关系的挖掘与寻找，既可以从观察图形出发，发现或利用互补，得到，也可以从分析三角形中的边角关系出发利用余弦定理去建立已知和未知间的关系．已知与未知间关系如何去建立，需要在仔细分析所求与已知的基础上，充分挖掘已知和所求中的信息（包括图形中所隐含的关系），多分析联想． 对本题的作进一步的思考与探究，还可以在一般与特殊、静态与动态的变化中去寻求问题的变式． 变式1:在中，，点M是BC上定点，满足，若则 ． 变式2:在中，，点M是BC的中点，若则= ． 好题犹如一杯咖啡