数值分析幂法.ppt

四、利用原点平移的反幂法求任一特征值和特征向量 第二十九页，共四十九页，2022年，8月28日 第三节 求实对称矩阵特征值的雅可比 （Jacobi）方法 Jacobi方法是用来求实对称矩阵的全部特征值和对应特征向量的一个古典算法。Jacobi方法的基本思想是对做一系列的正交相似变换，使其非对角元素收敛到零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。所用的矩阵为Givens矩阵，也称Jacobi旋转矩阵。 第三十页，共四十九页，2022年，8月28日 一、Givens矩阵 第三十一页，共四十九页，2022年，8月28日 第三十二页，共四十九页，2022年，8月28日 第三十三页，共四十九页，2022年，8月28日 第三十四页，共四十九页，2022年，8月28日 第三十五页，共四十九页，2022年，8月28日 数值分析 数值分析幂法 第一页，共四十九页，2022年，8月28日 第四章 代数特征值问题 第一节 特征值的估计和数值稳定性 第二节 幂法和反幂法 第三节 求实对称矩阵特征值的雅可比 （Jacobi）方法 第四节 求矩阵全部特征值的QR方法 第二页，共四十九页，2022年，8月28日 第一节 特征值的估计和数值稳定性 一、格希格林圆盘(Gerschgorin) 第三页，共四十九页，2022年，8月28日 第四页，共四十九页，2022年，8月28日 第五页，共四十九页，2022年，8月28日 第六页，共四十九页，2022年，8月28日 第七页，共四十九页，2022年，8月28日 第八页，共四十九页，2022年，8月28日 第九页，共四十九页，2022年，8月28日 二、特征值问题的稳定性 第十页，共四十九页，2022年，8月28日 第二节 幂法和反幂法一、幂法 求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。 第十一页，共四十九页，2022年，8月28日 第十二页，共四十九页，2022年，8月28日 第十三页，共四十九页，2022年，8月28日 （4-8 ） 第十四页，共四十九页，2022年，8月28日 定理4-2 证明 由递推公式（4-8），有 第十五页，共四十九页，2022年，8月28日 第十六页，共四十九页，2022年，8月28日 第十七页，共四十九页，2022年，8月28日 两种特殊情况 第十八页，共四十九页，2022年，8月28日 第十九页，共四十九页，2022年，8月28日 幂法小结 第二十页，共四十九页，2022年，8月28日 二、幂法的加速 因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值 ,当比值接近于1时，幂法收敛很慢。幂法 加速有多种，介绍两种。 第二十一页，共四十九页，2022年，8月28日 第二十二页，共四十九页，2022年，8月28日 第二十三页，共四十九页，2022年，8月28日 第二十四页，共四十九页，2022年，8月28日 3、Rayleigh商加速 第二十五页，共四十九页，2022年，8月28日 三、反幂法 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。 第二十六页，共四十九页，2022年，8月28日 第二十七页，共四十九页，2022年，8月28日 可以证明 反幂法计算格式 第二十八页，共四十九页，2022年，8月28日 数值分析