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运城学院 抽象代数试题+答案 一、填空题（每空3分，共30分） 1、在群G中元素a和b满足条件 1）对任意的x∈G，有ax=xa=x； 2）存在y∈G，使b=yy-1。 则a、b的关系为 a=b 。 2、设σ=(1 4 7 3 6)是一个轮换，则σ的逆为 (6 3 7 4 1) 。 3、设群G中元素a的阶为m，如果an=e，那么m与n间的关系为 。 4、已知群G中的元素a的阶等于30，则a9的阶等于 10 。 5、一个阶大于1，有单位元，无零因子的 交换环 称为整环。 6、规定实数集R上的运算×为a×b=3ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 结合率、交换率 。 7、实数集G关于乘法·：a · b = a + b + 4是群，那么G中的单位元是 –4 。 8、H是群G的正规子群，商群的单位元为 H 。 9、6阶循环环R={0,e,2e,3e,4e,5e}(e2=e)的单位群是 {e,5e} 。 10、设a、b、c和x都是群G中的元素，且x2a = bxc-1，acx = xac，那么x = bc-1a-1 。 二、简答题（每小题10分，共40分） 11、设G是一个群，若对任意的a, b∈G，皆有(ab)2 = a2b2，证明G是交换群。 证明：对任意的a, b∈G，由(ab)2 = a2b2得abab = aabb，两边同时左乘a-1，右乘b-1得a-1ababb-1 = a-1aabbb-1，即ba = ab，所以G是交换群。......10分 12、证明群G是交换群当且仅当映射是G的自同构。 证明：(=)对任意x∈G，有x-1∈G，且φ(x-1) = (x-1)-1 = x，所以φ是满射，......2分 对任意的x, y∈G，若φ(x) = φ(y)，即x-1 = y-1，则x = y，所以φ是单射，......2分 又对任意的x, y∈G，φ(xy) = (xy)-1 = y-1x-1 = φ(y)φ(x) = φ(x)φ(y)，所以φ是自同构。......2分 (=)又对任意的x, y∈G，由于(xy)-1 = φ(xy) = φ(x)φ(y) = x-1y-1 = (yx)-1，所以xy = yx，即G为交换群。......4分 13、设，，求。 解：，......5分 。......5分 14、设φ是环R到R′的同态映射，证明φ的核Kerφ是R的理想。 证明：因为φ(0) = 0，所以0 ? Kerφ, 可见Kerφ非空。 对于任意的a，b ? Kerφ, 有φ(a + b) = φ(a) + φ(b) = 0 + 0 = 0，即a + b ? Kerφ。 对于任意的a ? Kerφ，有φ(-a) = -φ(a) = -0 = 0，即-a ? Kerφ。......5分 对于任意的a ? Kerφ, r ? R，有φ(ra) = φ(r)φ(a) = φ(r)0 = 0，φ(ar) = φ(a)φ(r) = 0φ(r) = 0，即ra、ar ? Kerφ。 综上所述，Kerφ是R的理想。......5分 三、解答题（每小题10分，共30分） 15、写出S3的所有子群。 解：S3共有6个子群，分别为{(1)}、{(1), (12)}、{(1), (13)}、{(1), (23)}、{(1), (123), (132)}、S3。……10分 16、将置换g分解成不相交轮换的乘积，其中有λ1个1轮换，有λ2个2轮换，……，有λn个n轮换(λi可以是0)，给一种编码，形式上记为 称其为置换g的轮换指数。例如置换(1)(5)(27)(346)有2个1轮换，1个2的轮换，1个3轮换，0个4轮换，0个5轮换，0个6轮换，0个7轮换，故其轮换指数是 在不会混淆的情况下也简单记为。 求置换，的轮换指数。 解：，......5分 。......5分 17、关于Zn你都知道什么？有条理的写出来。 解：没有标准答案，写对一点得4分，写对两点得7分，写对三点及以上得10分。如： ， 规定两个运算，， 则Zn是环，称为模n剩余类环， 是单位元， Zn是交换环， Zn是循环环，是一个生成元， Zn的特征是n， Zn中非零元若与n互素，则为可逆元，若与n不互素，则为零因子， n为素数时，Zn是域， 等等。