数值方法线性方程组的迭代法.ppt

第一页，共三十五页，2022年，8月28日 引言 直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解,解线性方程组还有另一种解法，称为迭代法,它的基本思想是将线性方程组 Ax=b 化为 x=Bx+f 再由此构造向量序列{x (k)}: x(k+1)=Bx (k)+f 若{x (k)}收敛至某个向量x *,则可得向量x *就是所求方程组 AX=b 的准确解. 线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(Sor)迭代法. 第二页，共三十五页，2022年，8月28日 迭代法的特点 若在求解过程中 xk?x*(k??)，由 xk+1=?(xk)产生的迭代 xk向x*的逼近 ，在数次迭代求解之后，由于机器跳动产生的xk值误差或是有效数字产生的舍入误差，都会在第k+1次迭代计算中自动弥补过来或逐步纠正过来。因此，在 迭代求解过程中产生的各种误差是可以忽略的，即迭代求解无累积误差，实际上， xk只是解的一个近似，机器的舍入误差并不改变它的此性质。 迭代过程中经常要遇到向量范数，矩阵范数以及序列极限的概念。为此，下面先介绍这方面的知识和有关概念。 单击此处即可 第三页，共三十五页，2022年，8月28日 几个基本概念及性质 1. 向量范数： 对任一向量X，按一定规则确定一个实数与其相对应，该实数记 为||X||，若||X||满足下面三个性质： （1）||X||?0，||X||=0当且仅当X=0。 （2）对任意实数? ，|| ? X||=| ? | ||X||。 （3）对任意向量Y?Rn，||X+Y||?||X||+||Y||。 则称该实数||X||为向量X的范数 2 .矩阵范数：设A是N?N 阶矩阵，定义 ||A|| = Max?（||AX|| / ||X||）= Max ||AX|| x?0,x?Rn ||x||=1,x?Rn  为矩阵A的(算子）范数。 ||Ax|| ? ||A|| ||x|| 第四页，共三十五页，2022年，8月28日 三种常用的向量范数： 例 ：设 x=(1 , -4, 0, 2)T 求它的向量范数 第五页，共三十五页，2022年，8月28日 三种常用的矩阵范数： 例 ：设 A，求它的矩阵范数 第六页，共三十五页，2022年，8月28日 矩阵范数的性质： （1）对任意非零矩阵A,有||A||恒为正数，当且仅当A=0，||A||=0. （2）||aA||=|a|||A||（a为任意实数） （3）对于任意两个阶相同的矩阵A，B恒有||A+B||?||A||+||B||. （4）对于与矩阵A有相同维数的向量X，恒有||AX|| ? ||A||? ||X||. （5）对于同阶矩阵A，B 恒有 ||AB|| ?. ||A|| ? ||B|| 谱半径： 设 n?n 阶矩阵A的特征值为? i(i=1,2,3……n),则称 ?(A)=MAX | ?i| 为矩阵A的谱半径. 1? i?n 矩阵范数与谱半径之间的关系为: ?(A) ? ||A||. 单击此处 试做例题 第七页，共三十五页，2022年，8月28日 5 几个定理及定义 设{x(k)}为 Rn中的向量序列, x(*)为Rn中的向量 对矩阵也有类似的结论 下一页 第八页，共三十五页，2022年，8月28日 如果 矩阵 A=(aij)满足 n |aii| ? |aij| i=1,2,……n, j=1,j?i 则称方阵A是严格(行)对角占优的. a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n