数学物理方法第四章留数定理.ppt

数学物理方法第四章留数定理; Laurent 展式中 项的系数, 称作 f (z) 在孤立奇点 z0 的留数(Residue) 。 ;1、 l 内有 n 个孤立奇点;留数定理 设函数 在回路 l 所围区域 B 上除有限个孤立奇点 外解析，在闭区域 上除 外连续，则 ; 留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。 以上讨论都限于有限远点，我们还可以将这种讨论推广到无限远点;+;计算留数的公式： 一、一阶极点留数的计算：设 z0 是 f (z) 的一阶极点， 因此 特殊情形： ;二、m (m?2)阶极点留数的计算：设 z0 是 f (z) 的 m 阶极点, 两边乘 , 得到：;为了求 a-1, 对上式求 m-1 阶导数： 因此, 已知 m 后：;例1：求 在 处的留数。 解：; 例3：求 在其奇点的留数。 解： 单极点 2i, 三阶极点0;第十二页，共六十五页，2022年，8月28日;例4：求积分 解： ;第十四页，共六十五页，2022年，8月28日;第十五页，共六十五页，2022年，8月28日;§4.2 应用留数理论计算实变函数定积分 实变函数积分?复变函数的回路积分 基本思想: 将在区间 l1=[a, b] 的实变函数积分与复平面上的回路积分联系起来, 可以看做复变函数线积分的特例, 即是复变函数在实轴上的线积分。因此，可把上述实数积分与复变函数积分联系起来。; 方法：如果 补充线段 l2, 并且延拓函数到整个复平面，可构成围路积分： 左边积分和右边第二个积分 则可以利用复变函数理论求 出, 然后再求出 I 。;类型一： 其中： （1） R(cosx, sin x) 是 sin x, cos x 的有理式； （2）积分区间是 [0, 2?]； (3) 在区间[0, 2?]内，无奇点。; 如果令 z =1· eix=cos x+i sin x, 则积分路径变成单位圆的围路积分。因为;例题 1 计算积分 解：;例题 2 计算积分;被积函数有单极点 由留数定理得;类型二： 其中：(1) 积分区间是 (-?, +? ); (2) 复变函数 f (z) 在实轴上无奇点，在上 半平面除有限个奇点（b1, b2…bn) 外解析； (3) 当 z 在上半平面和实轴上??时，一致 的 | z f (z)|?0； 如果 f (x) 是有理分式 ， 则分母在实轴无零点，且分母的次数高于分子次数至少二次。;积分主值概念：反常积分定义为 当 R1=R2 时， 称为 I 的积分主值 一般，积分主值存在，不一定反常积分存在，反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！ ;计算积分主值 补充围路如图, 作线积分 由留数定理： 当 R??,左边的第一个积分 即是要求的，第二个积分可证明当 f (z)满足条件（3）[z ? ?, | z f (z)| ? 0] 时为零。;第二十六页，共六十五页，2022年，8月28日;例题3 求积分 解：;例题4 求积分 ;-n-(n-2);因此积分为 例题5 求积分 ;类型三： ;在第二积分中，;奇函数 -G(-y)=G(y) y? x;约当引理 如m为正数， 是以原点为圆心而位于 上半平面得半圆周 ，又设当 z 在上半平面及实轴上??时，f (z)一致地?0, 则 ;证：;右第二项中;如果 m 0, 应改为下半平面计算;第三十八页，共六十五页，2022年，8月28日;例题6：求积分 ;例题7：求积分 ;类型四：实轴上有单极点的积分 ; 先考虑只有一个单极点(m=1) 由于 的存在，作如图围路。在围路内如有有限个奇点，则 ; 当R??时 第 3 部分积分为零。 因此问题的关键是求实轴上单极点处的积分。;事实上 ; 妈妈开了个