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第1 课时 空间向量及其线性运算
知识点一 空间向量的概念
1.定义:在空间,具有大小和方向的量叫做空间向量.
2 .长度或模:向量的大小.
3 .表示方法:
①几何表示法:空间向量用有向线段表示;
→ →
②字母表示法:用字母a ,b ,c ,…表示;若向量a 的起点是A ,终点是B ,也可记作AB ,其模记为|a|或|AB |.
4 .几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0 的向量叫做零向量,记为0
单位向量 模为1 的向量称为单位向量
相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量,称为a 的相反向量,记为 -a
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些
(平行向量) 向量叫做共线向量或平行向量.规定:对于任意向量a ,都有0 ∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
思考 空间中的两个向量是不是共面向量?
答案 是,空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.
知识点二 空间向量的线性运算
加法 → → →
a +b =OA+AB =OB
减法 → → →
空间向 a -b =OA-OC=CA
量的线 → →
当λ0 时,λa =λOA=PQ ;
性运算
数乘 → →
当λ0 时,λa =λOA=MN ;
当λ=0 时,λa =0
交换律:a +b =b +a ;
运算律 结合律:a +(b +c) =(a +b) +c ,λ(μa) =(λμ)a ;
分配律:(λ+μ)a =λa +μa ,λ(a +b) =λa +λb.
思考1 怎样作图表示三个向量的和,作出的和向量是否与相加的顺序有关?
答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个向量求和,交换相加向量的顺
序,其和不变.
思考2 由数乘λa =0,可否得出λ=0?
答案 不能.λa =0⇔λ=0 或a =0.
选择性必修第一册 空间向量 学生版(适合新课) 第 1 页,共 82 页
1.两个有公共终点的向量,一定是共线向量.( )
2 .在空间中,任意一个向量都可以进行平移.( )
3 .空间两非零向量相加时,一定可以用平行四边形法则运算.( )
→ →
4 .向量AB 与AC 是共线向量,则A ,B ,C 三点必在一条直线上.( )
一、向量概念的应用
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A .方向相反的两个向量是相反向量
B .空间中任意两个单位向量必相等
→ → → → → →
C .若向量AB ,CD满足|AB |>|CD|,则AB >CD
D .相等向量其方向必相同
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A .若|a|=|b|,则a ,b 的长度相同,方向相同或相反
B .若向量a 是向量b 的相反向量,则|a|=|b|
C .空间向量的加法满足结合律
D .任一向量与它的相
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