小学奥数五年级经典讲义之第二讲圆与扇形.docVIP

第二讲 圆与扇形 内容概述 这一讲我们一起研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。 基本公式： 圆的面积=πr2，圆的周长=2πr； 例题精讲 哦?! 明白啦，这就是数学的奥妙啊！数学小组的同学们正在热烈的研究圆和扇形之间到底有什么关系？亲爱的小朋友，你能够帮助他们吗？ 哦?! 明白啦，这就是数学的奥妙啊！ 分析：由于扇形面积是圆面积的一部分，一个圆的周角是360°，只要知道扇形圆心角的度数，扇形的面积就可以由圆的面积公式按照比例通过计算而得到。 根据圆的面积=πr2，扇形圆心角的度数用n°来表示，可以得出扇形面积公式为：　 求下列各图阴影部分的面积。（π取3） 分析：（1） （2）法1：如右图所示，过B做BD垂直于AC， 我们就容易得到BD=AD=DC，所以BD=3，三角形ABC的面积=3×6÷2=9， 阴影部分面积=扇形面积-三角形ABC的面积=4.5×3-9=4.5 ； 法2 ：直角三角形的三边有一个特殊的关系，那就是著名的勾股定理： 如右图所示，三角形ABC是直角三角形，最长边是AC，较短的两条边是AB、BC，那么有。反之，若三角形中有，那么这个三角形就是直角三角形，且AC边为最大边，所对的角是直角。 最经典的直角三角形三边为：3、4、5 （）。 在题目中，三角形ABC是等腰直角三角形，所以有，且AB=BC， 可得， ， 阴影部分面积=扇形面积-三角形ABC的面积=4.5×3-9=4.5 。 （3） （4） （06年实验中学培训试题）如右图，ABCD是边长为a的正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．（π取3） 分析：这道题目是很常见的面积计算问题。我们只需要在图形上添加两条辅助线就明了了，如下右图 。 （05年12月人大附中选拔内测题）求右图中阴影部分的面积。（π取3） 分析：如右下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于下右图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差，即：。切割，拼移补齐是我们求不规则图形面积的常用手段。 （06年实验中学培训试题）右图是一个等腰直角三角形，直角边长2 厘米．图中阴影部分面积是多少平方厘米？（π取3） 分析：如右下图添加辅助线，那么原图阴影部分可转化为下图中的阴影部分， 求右图中阴影部分的面积： 分析：在题图分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。如右下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 如右图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆。求阴影部分的面积。 分析： 如右图（1）所示，将1/4圆1拼补到3，将1/4圆2拼补到4，这样就容易看出阴影部分面积就是正方形面积的一半，即4×4÷2=8。 （西城区三帆中学选拔考题）如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积。（π取3） 分析：先通过正方形BCDE减去1/4圆得到月牙BCD的面积:6×6－1/4×3×6×6＝9； 则阴影部分面积为三角形ACD的面积扣去月牙的面积，则为：1/2×16×6－9＝39。 （华校思维导引）如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米，求阴影部分的面积。（取π＝3） 分析：我们先确定ABFD的面积，则为长方形扣除一个1/4圆BCF，有：6×4－1/4×3×4×4＝12 ；进而让1/4圆ABE扣除ABFD的面积，则有1/4×3×6×6－12＝15。 （小学数学奥林匹克决赛试题）在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。（π取3） 分析：我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解。 左边的阴影 = 大扇形-小扇形-1个长方形中的不规则白色部分 =大扇形 - 小扇形 -（长方形-右边的阴影）= 大扇形 - 小扇形 - 长方形 + 右边的阴影， 可得：左边的阴影 - 右边的阴影 = 大扇形 - 小扇形 - 长方形 = 1 。 （北京市迎春杯竞赛试题）如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20，阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7，求BC长。（π取3