2023-2024学年上海新高一上学期数学教材同步讲练 第7讲 平均值不等式及其应用(3种题型)含详解.docxVIP

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第07讲 平均值不等式及其应用(3种题型) 【知识梳理】 一、平均值不等式: 变式: 推广:是个正数,则称为这个正数的算术平均数,称为这个正数的几何平均数, 它们的关系是:,当且仅当时等号成立。 【考点剖析】 题型一:简单基本不等式问题 例1.已知正数满足,求的最小值。判断下述解法正确与否,若不正确,请给出正确的解法,若正确,则说明理由。 的最小值为 【变式】设a0 ,b0 则下列不等式中不成立的是( ) a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4 C ≥a+b D ≥ 题型二:不等式的最值问题 例2.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AC、BD相交于O,记△BCO、△CDO、△ADO的面积分别为S1、S2、S3,则的取值范围是 . 【变式1】设ab0,求的最小值。 【变式2】x-1,当x为何值时,的值最小?最小值是多少? 【变式3】非零实数、、满足,则的最小值是________。 【变式4】已知? 【变式5】函数最大值与最小值分别为 。 【变式6】 题型三:基本不等式的应用 例3.某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【变式1】第三届进口博览会将于11月5日至10日在上海青浦国家会展中心举行,某参展企业为了制作一份精美的宣传画册,要求纸张的形状为矩形,面积为,如图所示:其中上边,下边和左边各留宽为的空白,右边留宽为的空白,中间阴影部分为文字宣传区域;设矩形画册的长为,宽为,文字宣传区域面积为. (1)用,表示; (2)当,各为多少时,文字宣传区域面积最大?最大面积是多少? 【变式2】我校第二教学楼在建造过程中,需建一座长方体形的净水处理池,该长方体的底面积为200平方米,池的深度为5米,如图,该处理池由左右两部分组成,中间是一条间隔的墙壁,池的外围周壁建造单价为400元/平方米,中间的墙壁(不需考虑该墙壁的左右两面)建造单价为100元/平方米,池底建造单价为60元/平方米,池壁厚度忽略不计,问净水池的长为多少时,可使总造价最低?最低价为多少? 【过关检测】 一、单选题 1.(2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中)下列各式中,最小值为2的是(???) A. B. C. D. 2.(2022·上海·高一专题练习)已知,则有(????) A. B. C. D. 3.(2022秋·上海青浦·高一校考阶段练习)设,则下列各式中正确的是(????) A. B. C. D. 4.(2022秋·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中)如果实数a,b同号,那么下列命题中正确的是(????) A. B. C. D. 5.(2020秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习)已知,若,则(????) A.有最小值4 B.有最大值2 C.有最大值1 D.有最小值 6.(2021秋·上海静安·高一校考期中)给出下列命题中,真命题的个数为(????) ①已知,则成立; ②已知且,则成立; ③已知,则的最小值为2; ④已知,,则成立. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(2022·上海·高一专题练习)已知x、y、z是互不相等的正数,则在、、三个值中,大于的个数的最大值是(????) A.0 B.1 C.2 D.3 8.(2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金,售货员先将5的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为,则(????) A. B. C. D.以上都有可能 二、多选题 9.(2022秋·上海嘉定·高一校考期中)已知a、b、c为互不相等的正数,且,则下列关系中可能成立的是(????) A. B. C. D. 10.(2022秋·上海浦东新·高一校考期中)已知关于x的不等式的解集为,则(????) A.为定值 B.的最小值为 C.的最大值为 D.无最小值 三、填空题 11.(2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习)已知a、,且,则ab的最大值是____________. 12.(2022秋·上海嘉定·高一校考期中)若一个直角三角形的面积为,则此三角形周长的最小值是________. 13.(2022秋·上海奉贤·高一校考期中)某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32的矩形空地,并计划在该空地上设置三块全等的

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