二次型分析和总结.docx

第六章 二次型 §1. 二次型的定义 二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线 和空间解析几何中的二次曲面。一个系数取自数域 F 含有 n 个变量 x , x 1 2 ,?, x 的 n 二次齐次多项式： f (x , x ,?, x ) ? a x 2 ? 2a x x ? 2a x x ? ? ? 2a x x 1 2 n 11 1 12 1 2 13 1 3 1n 1 n a x 2 22 2 2a x x 23 2 3 2a x x 24 2 4 ? ? 2a x x 2 n 2 n ? ? ? a x 2 nn n 称为数域 F 上的一个 n 元二次型，简称二次型。 令a ? a ij ji ，则上述二次型可以写成对称的形式： f (x , x 1 2 ,?, x ) ? n ?n? n a x x ij i j 把上式的系数排成一个 n 阶方阵： i?1 j ?1 ? a a ? a ? ? 11 ? a 12 1n ? a ? a ? A ? ? 21 22 2n ? ? ? ? ? ? ? ??a a ? a ? ? n1 n2 nn 称这矩阵为二次型 f (x , x 1 2 ,?, x n ) 的矩阵。由于a ij ? a ，所以矩阵 A 是对称矩 ji 阵，因此二次型的矩阵都是对称的。由此二次型可以写成矩阵的形式： f (x , x 1 2 ,?, x n ) ? X T AX 式中 X ? ?x , x 1 2 ,?, x n ?T 。 定理 1：若 A、B 为 n 阶对称方阵，且 X T AX ? X T BX ，则 A=B。这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。 例 1：设 f (x , x , x ) ? x 2 ? 2x x ? 2x 2 4x x ? 4x 2 ，则它的矩阵为： 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 ? 1 1 0? ? ? A ? ? 1 2 2? ? ?? 0 2 ? ? 例 2：设 f (x , x 1 2 , x ) ? ?4x x 3 1 2 2x x 1 3 2x x 2 3 ，则它的矩阵为： ? 0 ? 2 1? ? ? A ? ?? 2 0 1? ? ?? 1 1 ? ? ? 1 ? 1 1 ? ? ? 例 3：设二次型的矩阵 A ? ?? 1 ? 3 ? 3? ，则对应的二次型为： ? ?? 1 ? 3 0 ? ? f (x , x , x ) ? x 2 ? 2x x ? 2x x ? 3x 2 ? 6x x 1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 和在几何中一样，在处理许多其它问题时也经常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。为此引入： 定义 1：设 x , x 1 2 ,?, x n 和 y , y 1 2 ,?, y n 是两组变量，它们之间有关系式： ? x ? c y ? c y ??? c y ? 1 11 1 12 2 ? 1n n ??x ? c y ? c y ? ? c y ? 2 21 1 22 2 2n n ? ????? ??x ? n ? c y n1 1 c y n2 2 ??? c y nn n 称这关系式为由 x , x 1 2 ,?, x n 到 y , y 1 2 ,?, y n 的一个线性替换，简称线性替换。可 以用矩阵的形式表示这线性替换： ? x ? ? c c ? c ?? y ? ? 1 ? ? 11 ? x ? ? c 12 1n ? c ?? 1 ? ?? y ? X ? ? 2 ? ? ? 21 22 2n ?? 2 ? ? CY ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?n? ????? x ? ? ? n ? ? ?? ? n1 n 2 ? c ?? y ? nn n 如果系数行列式C ? 0 ，则称线性替换为非退化的。 经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型。下面研究替换后的二次型与原二次型之间的关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵之间的关系。 设二次型 f (x , x 1 2 ,?, x n ) ? X T AX 经过非退化线性变换 X ? CY 得到一个关 于 y , y ,?, y 的二次型Y T BY ，下面寻找矩阵 A、B 之间的关系。 1 2 n 把变换 X ? CY 代入 f (x , x 1 2 ,?, x n ) ? X T AX 得到： f (x , x 1 2  ,?, x n ) ? X T AX ? ?CY ?T ACY ? Y T CT ACY =Y T