二次曲线的射影理论.docx

PAGE PAGE 10 第五章 二次曲线的射影理论 本章首先给出射影平面上二次曲线的射影定义，然后在此基础上讨论二次曲线的射影性质及其分类。 §1 二次曲线的射影定义 1.1 二次曲线的射影定义 定义 1.1 在射影平面上，若齐次坐标（x1，x2，x3）满足下列三元二次齐次方程 ?3 a x x ij i j i, j ?1 ? 0 (a ij ? a ) ji 其中 aij（i，j=1，2，3）为实数，并且至少有一个不是零，则这些点的集合称为二阶曲线。 二阶曲线的方程可以写成矩阵形式： ? a a a ? ? x ? ? ?? 11 12 13 ? ? 1 ? x x x 1 2 3 ? a a ? 21 22 a ? ? x 23 ? ? ? ? 0 2 ? ?3a a a ? 3 31 32 33 ? ? x ? 其中（aij）用 A 表示叫系数矩阵，用| A |或| aij |表示系数行列式。 定理 1.1 两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。 证明 在射影平面上建立射影坐标系后，设两个线束的方程为 α+λβ=0， α′+λ′β′=0， 由于它们是射影对应，所以λ，λ′满足： aλλ′+bλ+cλ′+d=0 (ad－bc≠0). 由以上三个式子消去λ，λ′得 ? ?? ? ?? a( ? ) ( ??) ? b( ? ) ? c( ??) ? d ? 0, 即 a??? ? d??? ? b??? ? c??? ? 0 . 因为 α，β，α′，β′都是 x1，x2，x3 的一次齐次式，所以上式是关于 x1， x2，x3 的二次齐次方程，它表示一条二阶曲线。而且α=0 与 β=0 的交点和 α′=0 与 β′=0 的交点的坐标都满足这个方程，因此形成此二阶曲线的两个线束中心也在这条二阶曲线上。 定理 1.1 的逆定理也成立， 定理 1.1 中形成二阶曲线的两个射影对应线束的中心并不具有特殊性，可以证明，二阶曲线上任意两点都可以看作生成这条二阶曲线的射影对应线束的中心。 定理 1.2 设有一条二阶曲线，它是由两个成射影对应的线束对应直线的交点构成的，那么以这条二阶曲线上任意两点为中心向曲线上的点投射直线，则可以得到两个成射影对应的两个线束。 证明 设二阶曲线是由以O，O′为中心的两射影线束 O（P）和O′ （P）所生成。在此二阶曲线上任意取定两点 A 和 B，设 M 为曲线上动点， 我们只须证明出 A（M） ? B（M）即可。 如图所示，设 AM 与 OP，OB 交于 K，B′，BM 与 O′P ，O′A 交于点=K′，A′，于是 O（A，B，P，M） ? O′（A，B，P，M） 所以 O（A，B，P，M） ? （A，B′，K，M） （A′，B，K′，M） ? O′（A，B，P，M） 所以 （A， B′，K，M） ? （A′，B，K′，M） 由于两底的交点 M 是自对应点，因此 （A，B′，K，M） ? （A′，B，K′，M） 所以两点列对应点连线交于一点，也即 AA′，BB′，KK′共点于点 S。 S 为一定点，这说明当 M 点变动时，OP 上点列（K）与 O′P 上点列（K′） 成透视对应，对应点连线 KK′通过一个定点 S，所以有 A（M） ? OP（K） ? O′P（K′） ? B（M） 即 A（M） ? B（M） 推论 1 平面内五个点，若其中任意三个都不共线，则这五个点可确定唯一一条二阶曲线。 推论 2 若二阶曲线上任一点向此曲线上四定点连四条直线，则此四直线的的交比是常数。 例1 求两个成射影对应的线束： x1+λx3=0 与x2－μx3=0（λ+μ=1） 所构成的二阶曲线的方程。 解 因为 λ+μ=1，所以 μ=1－λ，于是两线束可以写成： ??x ? ?x ? 0 ? 1 3 ? (1 ?) ? 0 ?x ? x ? 2 3 即 ?x ? ?x ? 0 ? 1 ? 3 ? ? 0 ?x x ? x 消去 λ 得 2 3 3 x ? x 1 3 ? 0 x ? x x 2 3 3 整理得二阶曲线的方程为 x x ? x x 1 3 2 3 ? x 2 ? 0 3 定义 1.2 在射影平面上，成射影对应的线束的对应直线的交点的集合称为二阶曲线。 注意 上述定义包含了退化的情况：如果两个成射影对应的线束是透视的，此时二阶曲线退化成两条直线，一条是透视轴，另一条是两线束中心的连线。 定义 1.3 在射影平面上，若齐次线坐标[u1，u2，u3]满足下列三元二 次 ?3 i, j ?1 a u u ? 0 (a ? a ) ? ? ? ? 的直线的集合叫做二级曲线。 其中 aij′（i，j=1，2，3）为实数且不全为零。二阶曲线与二级曲线统称为二次曲线。