二项式定理.版块五.二项式定理的应用2证明不等式.教师版 普通高中数学复习讲义Word版.docx

二项式定理 ⑴二项式定理 知识内容 ?a ? b?n ? C0 an ? C1an?1b ? C2 an?2b2 ? ... ? Cnbn n ? N? ? ? ? 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 C0 an C1an?1b ? C 2 an?2b2 ? ... ? Cnbn 叫做?a ? b?n 的二项展开式，其中的系数 n n n n Cr ?r ? 0, 1, 2, ..., n?叫做二项式系数，式中的C r an?rbr 叫做二项展开式的通项，用T 表示， n 即通项为展开式的第r ?1 项： T r ?1 n ? Cr an?rbr ． n r ?1 ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式?a ? b?n 的展开式项数为n ? 1 项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到n ． ⑷几点注意 ①通项T r ?1 ? Cr an?rbr 是?a ? b?n 的展开式的第r ?1 项，这里r ? 0, 1, 2,..., n ． n 证明不等式 证明不等式 ②二项式?a ? b?n 的 r ?1 项和?b ? a ?n 的展开式的第r ? 1 项Crbn?r ar 是有区别的，应用二项式 n 定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（ C r ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而 n 项的系数有时可为负． ④通项公式是?a ? b?n 这个标准形式下而言的，如?a ? b?n 的二项展开式的通项公式是 T ? ??1?r Cr an?rbr （只须把?b 看成b 代入二项式定理）这与T ? Cr an?rbr 是不同的，在这 r ?1 n r ?1 n 里对应项的二项式系数是相等的都是Cr ，但项的系数一个是??1?r Cr ，一个是Cr ，可看出， n n n 二项式系数与项的系数是不同的概念． ⑤设a ? 1, b ? x ，则得公式： ?1 ? x ?n ? 1 ? C1 x ? C 2 x2 ? ... ? Cr xr ? ... ? xn ． n n n ⑥通项是T r ?1 ? Cr an?rbr n ?r ? 0, 1, 2, ..., n?中含有T r ?1 , a , b , n , r 五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素． ⑦当n 不是很大， x 比较小时可以用展开式的前几项求(1? x)n 的近似值． 二项式系数的性质 ⑴杨辉三角形： 对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是 1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质： ?a ? b?n 展开式的二项式系数是：C 0 , C1 , C 2 , ..., Cn ，从函数的角度看Cr 可以看成是r 为自 n n n n n 变量的函数 f ?r ?，其定义域是：?0, 1, 2, 3, ..., n?． 当 n ? 6 时， f ?r ?的图象为下图： 这样我们利用“杨辉三角”和 n ? 6 时 f ?r ?的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 【考点】证明不等式 【考点】证明不等式 事实上，这一性质可直接由公式Cm n ? Cn?m 得到． n ②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 nC0 ? 1, C1 ? , C2 n n ?n ? 1? ? ， n n 1 n 1? 2 C3 ? n n ?n ? 1??n ? 2? 1? 2 ? 3 ，．．．， n ?n ? 1??n ? 2?...?n ? k ? 2? n ?n ? 1??n ? 2?...?n ? k ? 2??n ? k ? 1? Ck ?1 ? n 1? 2 ? 3 ??? ?k ? 1? ， Ck ? n 1? 2 ? 3... ? ?k ? 1?k ，．．．， Cn ? 1 ． n 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1 的数（如 n , n ? 1, n ? 2,... ），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于 1 的数则变大，而乘以一个小于1 的数则变小，从而当k 依次取 1，2，3，…等值 时， C r