分解因式知识点总结及例题.docx

第二章 分解因式 一. 分解因式 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区别和联系: 整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: ab ? ac ? a(b ? c) 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma ? mb ? mc ? m(a ? b ? c) 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提 “干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. 1 主要公式: (1)平方差公式: a 2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b) (2)完全平方公式: a 2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2 a2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2 补充：欧拉公式： a 333? b ? c ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 222? b ? c ? ab ? bc ? ca) 1 ? (a ? b ? c)[(a ? b) 2 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] 特别地：（1）当ab?c?? 0 时，有a 3 ??b3 c3 ? 3abc （2）当c ? 0 时，欧拉公式变为两数立方和公式。 因式分解要分解到底.如x4 ? y 4 ? (x2 ? y 2 )(x2 ? y 2 ) 就没有分解到底. 运用公式法: (1)平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号. (2)完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍. 因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公 式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; 因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 2 四. 分组分解法: 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: am ? an ? bm ? bn ? a(m ? n) ? b(m ? n) ? (a ? b)(m ? n) 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. 注意: 分组时要注意符号的变化. 五. 十字相乘法: 对于二次三项式ax 2 ? bx ? c ,将 a 和c 分别分解成两个因数的乘 a c 21 1 2 积, a ? a ? a 1 2 , c ? c 1 ? c , 且满足b ? a c 2 1 2 a c 2 1 ,往往写成 a c2 的形式, 将二次三项式进行分解. 如: ax2 ? bx ? c ? (a 1 x ? c 1 )(a 2 x ? c ) 2 二次三项式x2 ? px ? q 的分解: p ? a ? b q ? ab 1 a 1 b 规律内涵:(1)理解:把 x2 ? px ? q ? (x ? a)(x ? b) x2 ? px ? q 分解因式时,如果常数 项q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数 p 的符号相同. (2)如果常数项q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果 与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确. 3 提公因式法 把下列各式因式分解 （1） ?a 2 xm?2 abxm?1 ??acx m axm?3 （2） a(a ??b) 3 2a 2 (b ??a) 2 2ab(b ? a) 利用提公因式法简化计算过程 例：计算123 ? 987 ? 268 ? 987 ? 456 ? 987 ? 521? 987 1368 1368 1368 1368 在多项式恒等变形中的应用 ?5x ?