一元二次方程根与系数的关系.ppt

第一页，共二十三页，2022年，8月28日 1.一元二次方程的解法 2.求根公式 复习提问 数 学 活 动 一 第二页，共二十三页，2022年，8月28日 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： X= (b2-4ac≥ 0) 第三页，共二十三页，2022年，8月28日 1.???? 填表，观察、猜想 数学活动二 方程 x1,, x2 x1,+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0 1,1 2 1 x2+3x-10=0 2,-5 -3 -10 x2+5x +4=0 -1,-4 -5 4 问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； ② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律。 第四页，共二十三页，2022年，8月28日 根与系数关系 如果关于x的方程 的两根是 , ,则: 如果方程二次项系数不为1呢? 第五页，共二十三页，2022年，8月28日 数 学 活 动 三 方 程 x1,, x2 x1,+ x2 x1. x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律； ①用语言叙述发现的规律； ② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规 律： 第六页，共二十三页，2022年，8月28日 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+x2= , X1x2= - （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0 第七页，共二十三页，2022年，8月28日 韦达（1540－1603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 第八页，共二十三页，2022年，8月28日 一元二次方程根与系数关系的证明： X1+x2= + = = - X1x2= ● = = = 第九页，共二十三页，2022年，8月28日 1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 - 3x + =0 3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4 x1+x2=2 x1x2=-1 x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0 x1x2= x1x2=0 x1x2= - 示例 第十页，共二十三页，2022年，8月28日 典型题讲解： 例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求： (1) (2) x12+x22 解： 由题意可知x1+x2= - , x1 · x2=-3 (1) = = = (2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22 ＝(x1＋x2)2 -2x1x2 ＝(- )2 -2×(-3)＝6 第十一页，共二十三页，2022年，8月28日 变式 练习：设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。 （2） （1） （３）（x1- x2）2 第十二页，共二十三页，2022年，8月28日 例题：已知方程　　　　　　　　的两个实数根 是　　　且　　　　　 求k的值。 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1×X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2 解得：k=4 或k=－2 第十三页，共二十三页，2022年，8月28日 1、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。 拓广探索 解：由方程有两个实数根，得 即-8k+4≥0 由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，