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板状结构的设计域拓扑优化方法 优化结构是研究领域最具潜力和挑战的课题。围绕结构拓扑优化问题, 国内外学者已开展了大量的研究, 主要有:1988年Bendsue788e M.P和Kikuchi N 板条状结构广泛应用于结构设计中。目前的拓扑优化方法很难解决板条状结构的拓扑优化问题。即使获得了较好的拓扑, 也因为结构过于复杂不利于加工制造。刘书田等 本文目的是对板条状结构进行拓扑优化, 使其获得具有周期性的、易于制造的结构拓扑形式。以结构的最小体积作为目标函数, 建立了基于变密度理论SIMP材料插值模型的周期性拓扑优化数学模型。对常规拓扑优化难以求解的板条状悬臂梁结构进行了周期性拓扑优化研究。 1 日本交易的优化 板条状结构的优化域划分成m个子域, 其中m为x轴方向子域的数目, 如图1所示。x 2 基于simp材料插值模型的周期性拓扑优化 2.1 simp材料的插值模型 目前变密度理论中最为流行的材料插值模型为SIMP材料插值模型 式中:E (x SIMP材料插值模型表示为 式中x 2.2 刚度约束条件下的体积最小问题 拓扑优化问题一般可以按两种方式建立优化模型:一是在体积或质量约束下求最小柔度, 即最大刚度。二是在刚度约束下求最小体积或质量。由于篇幅所限, 本文主要讨论刚度约束条件下的体积最小问题。 单元相对密度作为设计变量, 结构体积作为目标函数, 刚度约束条件下基于变密度理论SIMP材料插值模型的周期性拓扑优化问题的数学模型可表达为 式中:V为结构体积;v 为了使各子域具有相同的拓扑形式, 在数学模型中设置了额外的约束条件, 即 2.3 虚拟子域的求解 采用准则法求解式 (3) 的拓扑优化问题, 首先构造Lagrange方程表示为 式中:λ 当x 针对设计变量的取值情况, 式 (6) 可以改写为 将C=F 利用结构刚度矩阵的对称性, 式 (9) 整理为 由于λ 式 (10) 可以表示为 式 (13) 两边同时乘以x 单元的应变能计算公式为 式 (15) 代入式 (14) 得 式 (16) 适用于优化域内的所有单元。对各子域内的第j个单元求和得 为了保证能够获得具有周期性的拓扑结构, 在有限元计算过程中, 通常把结构划分为单元结构完全相同的有限元网格, 即单元体积完全相等, 用公式表达为 构建一个虚拟子域, 各子域内各单元相对密度的平均值和应变能的平均值作为虚拟子域内单元的相对密度和应变能。则虚拟子域内第j个单元的应变能为 虚拟子域内第j个单元的相对密度为 将式 (19) 、 (20) 代入式 (17) 得 由式 (21) 可得虚拟子域内单元相对密度与应变能之间的关系, 即 式 (22) 作为优化设计准则, 考虑到式 (22) 及设计变量的上下限, 可得到基于优化准则法的迭代公式为 式中:η为阻尼系数, 引入η的目的是为了确保数值计算的稳定性和收敛性。 式 (23) 作为虚拟子域内设计变量的迭代公式, 更新后的设计变量作为各子域内单元的设计变量, 即x 2.4 lagrange乘子的选取 用式 (23) 对虚拟子域内设计变量的更新需求解D Lagrange乘子和设计变量的取值应满足刚度约束。假设当设计变量由第k步x 记 (D 将式 (23) 代入式 (25) 可得 求解方程式 (26) , 可得到λ 2.5 赖性等问题的问题 由于数值计算不稳定, 拓扑优化容易出现棋盘格、网格依赖性等问题。X.huang, Y.M.Xie应用了一种利用过滤函数来抑制棋盘格、网格依赖性的方法 过滤函数建立一个以单元a为中心, 以r 式中:sapos; 式中r 2.6 日中合作优化的收敛标准 相邻两次优化结果柔度的相对误差τ小于给定的收敛精度τ 3 子域和代次对拓扑结构的优化 如图2所示的平面矩形悬臂梁结构, 左端被固定, 右端作用F=1 000 N/mm的垂直载荷。设计域长L=120 mm, 高H=40 mm, 在其内部有一个长L 周期性拓扑优化的参数如下:弹性模量E 图3是体积分数f (优化后的体积与初始体积的比值, 即 图4是拓扑优化的过程, 单元相对密度大于0.1的单元被显示出来, 其中图4e) 为最优拓扑。从图中可以看出, 第12次迭代时, 3个子域内同时出现3个孔洞, 并且各子域内的孔洞具有周期性。随着迭代次数的增加, 3个孔洞逐渐变大, 但孔洞数目没有发生改变。直到获得最优拓扑, 子域内孔洞个数仍为3个, 显示该方法具有较强的稳健性。 图5是m不同取值时的最优拓扑。从图5可看出, 当m取不同值时, 都可以得到具有周期性的拓扑结构, 而且各周期性拓扑结构具有非常好的一致性。 图6为最优拓扑的体积分数f和迭代次数k随子域数目的变化曲线。当m=3时, 仅需要39次迭代就获得了最优拓扑, 且体积分数获得最小值, 即为本算例的最优拓扑。 4