声波波动方程推导.docx

波动方程推导过程 波动方程是用来描述波动现象的偏微分方程，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波等现象。 简谐波 任何复杂的波都可以看成是由若干频率不同简谐波叠加而成的。 振源以速度u传播到点x，时间延迟： ，沿x轴正向传播为右行波，反向传播为左行波。 右行波 通过傅里叶级数展开，可以把声压随时间变化的波形分解成一系列随时间按单色纯音频率正弦变化的各次谐波的叠加。 波动方程的一般形式 质点的振动速度 质点的振动加速度 联立得 上式为平面简谐波的波动方程。 在无吸收的各向同性的均匀介质中的三维空间传播的一切波动过程都满足如下方程： 理想流体介质的三个基本方程 体积元内流体的连续性方程（质量守恒方程） 单位时间左侧流入质量为 单位时间右侧流出质量为 由单位时间当地体积元内的质量增量等于密度的增加量，则 左边第二项进行泰勒级数展开，并取其一级近似 带入上式整理可得连续性方程 将 得到 非线性项相对为高阶小量，线性化后 体积元内流体的运动方程（牛顿第二定律） 在声波作用下，牛顿第三定律，作用在流体介质左右侧的力大小相等方向相反，声波的合力为（泰勒级数一级近似） 根据牛顿第二定律，质量、加速度与力之间的关系 加速度 则 考虑到理想流体介质假设中小振幅声波引起的密度变化远小于无声波时原有的密度的假设。线性化后的运动方程 体积元内流体的物态方程 对于等熵流体 进行泰勒级数展开，并做线性化处理，取其前两项得到 则 对其两边积分，便得到流体介质的物态方程 小振幅声波的波动方程 对第一式求时间偏导，第二式求散度，两者相减，带入第三式，可得 或 以上为均匀的理想流体媒质中小振幅声波的波动方程，是一个忽略了二阶以上微量后的线性声波波动方程。 齐次声波波动方程的解 平面波的波动方程为 采用分离变量 带入求解 左边仅与x有关，右边仅与t有关，都是独立变量。因此 求解时间变量独立方程 关于时间的解 进一步，令波动方程的解为空间位置变量解与时间变量的解的乘积形式，有 带入得到空间位置独立变量的微分方程 式中：为波数。 很容易得到该独立变量的微分方程的一般解为 因此，平面波声压波动方程的解为 脉动球源声场的物理意义 经典声学中，脉动球源声场是最基本的物理模型。脉动球源是一种球面进行着均匀涨缩震动的声源，当理想成一个点球源时，那么任何一个表面振动各异的物体都可看成是由若干个小脉动球源的叠加组成。 由于物体表面各点对当地流体的涨缩幅度与运动有关，涉及流体力学问题，所以它为流体动力声源。物体表面各点对当地流体的涨缩作用实质是使当地流体密度发生变化，所以可定义它为质量源，为流体动力声源的第一类发声机理，可称之为单极子声源。 为了便于球源表面的的振动边界条件的描述，可采用球坐标的形式，以球源中心为原点。对于球源表面个点都沿着径向做同振幅、同相位的振动，所以球源表面的振动速度与极角和方位角无关，此时声压p仅仅是r和t的函数 由 写成 该方程形式的解为 可求得关于声场中声压的一般解为 方程中第一项代表向外辐射（发散）的球面波，第二项代表向球心反射（汇聚）的球面波。 为了了解球源的辐射性质，仅讨论他向空间无界空间辐射的自由行波情形，令常数。 有 从声场中声压的幅值看，声压随径向距离反比地减小，这是波阵面为球面声场的一个重要特征。 全流场非齐次声波波动方程的声场解 将已经确定位置、振幅和波形的质量源（源项）作为常数在齐次波动方程的右边，这样该方程时一个非齐次声波波动方程。设在各点处源项为，传播时间为 引入狄拉克函数 ，全流场声波波动方程可描述为 对于单色波，根据位于x=y含源处的非齐次声波波动方程 描述声场的声学边界条件。通过将声学边界条件与一般解联立起来确定一般解中的待定常数，这样可得到该点源所致声场的具体解。 球坐标下的齐次声波波动方程的一般解为 式中：A是声学边界条件确定的待定常数。 关于声学边界条件，可假定在球坐标原点r=0处有一个已知的单色质量点源，为 带入非齐次声波波动方程 小球体积，采用极限的方法，方程左边第一项 式中：为球坐标下的体积元素。 方程左边第二个体积分可采用高斯公式 因此 对应的声场声压具体解为 在笛卡尔坐标系下，线性声场的叠加 将单色单极子声源写成非单色单极子声源的形式，即 ， 这样可以得到 式中：为三维空间积分域。 格林函数 不失一般性，可以从单色单极子声源的声场解 可以看出，其求解得到的声场中某接收点处声波的振幅和相角仅与该点接收到声源发射点间的距离有关，并且通过变换，可以把声场解描述成相对位置的函数形式，为 式中 为接收点与发射点间相对位置的函数，并称这个函数的为格林函数。格林函数具有互易性，即 又因为 有