综合法与分析法 (2) 教学设计.docx

PAGE 3 综合法与分析法 教学目标: 1．知识与技能目标 (1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法． (2)了解综合法和分析法的思维过程和特点． 2．过程与方法目标 (1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力． (2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力． 3．情感、态度及价值观 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力． 教学重难点: 重点：综合法和分析法的思维过程及特点． 难点：综合法和分析法的应用． 教学过程: (一)创设情境，引入新课 证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识． (二) 新课讲授 合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明. 思考:已知a，b0，求证 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义. 证明:因为， 所以， 因为， 所以. 因此， . 一. 综合法 1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论) 例1 设a,b,c为不全等的三个正实数，求证：（a+b）（b+c）（c+a）＞8abc. 变式：已知a，b，c是不全相等的正数， 求证： 证明： 以上三式相加，且注意到a，b，c不全相等， 故 总结：本题主要综合运用基本不等式以及对数的运算性质来证明. 例2 已知a,b,c为正数，求证： （1）； （2）. 且当且仅当a=b=c时等号成立. 变式 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a， b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c 成等比数列，求证△ABC为等边三角形. 证明：由 A， B， C成等差数列，有 2B=A + C ． eq \o\ac(○,1) 因为A，B，C为△ABC的内角，所以A + B + C=． eq \o\ac(○,2) 由①② ，得B=. eq \o\ac(○,3) 由a， b，c成等比数列，有. eq \o\ac(○,4) 由余弦定理及③，可得 . 再由④，得. ， 因此. 从而A=C. eq \o\ac(○,5) 由②③⑤，得 A=B=C=. 所以△ABC为等边三角形． 总结:解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来． 二.分析法 1.定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法. 2. 思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法. 3.框图表示：(用Q表示要证明的结论，Pn表示充分条件) 4.分析法的书写格式： 要证：? 要证：?? 只要证：?? 只需证：?? 显然成立 上述各步均可逆 所以,结论成立 例3 求证: 证明：因为都是正数， 所以要证 只需证 展开得 只需证 只需证 因为显然成立， 所以 例3. 求证：. 练习:在锐角中，求证: 证明:要证明 只需证 因为A、B为锐角，所以 只需证 只需证 因为C为锐角，为钝角 所以恒成立 所以 课时小结: 本节课所学的知识结构