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eq \a\vs4\al(空间几何体的表面积与体积)
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
预习课本P23~27,思考并完成以下问题
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算?
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么?
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么?
4.柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么?
5.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系?
eq \a\vs4\al([新知初探])
1.柱体、锥体、台体的表面积公式
图形
表面积公式
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积
旋转体
圆柱
底面积:S底=πr2
侧面积:S侧=2πrl
表面积:S=2πrl+2πr2
圆锥
底面积:S底=πr2
侧面积:S侧=πrl
表面积:S=πrl+πr2
圆台
上底面面积:S上底=πr′2
下底面面积:S下底=πr2
侧面积:S侧=πl(r+r′)
表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl)
2.柱体、锥体、台体的体积公式
柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高);
锥体的体积公式V=eq \f(1,3)Sh(S为底面面积,h为高);
台体的体积公式V=eq \f(1,3)(S′+eq \r(S′S)+S)h.
[点睛] (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系:
eq \a\vs4\al([小试身手])
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积( )
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( )
答案:(1)× (2)√
2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是( )
A.eq \f(3+\r(3),4)a2 B.eq \f(3,4)a2
C.eq \f(3+\r(3),2)a2 D.eq \f(6+\r(3),4)a2
解析:选A ∵侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于eq \f(\r(2),2)a,∴S表=eq \f(\r(3),4)a2+3×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2=eq \f(3+\r(3),4)a2.
3.若圆锥的底面半径为3,母线长为5,则圆锥的体积是________.
解析:由已知圆锥的高h=4,
所以V圆锥=eq \f(1,3)π×32×4=12π.
答案:12π
柱、锥、台的表面积
[典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.
[解] 如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线A1C=15,B1D=9
∴a2+52=152,b2+52=92,
∴a2=200,b2=56.
∵该直四棱柱的底面是菱形,
∴AB2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2=eq \f(a2+b2,4)=eq \f(200+5
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