平面与平面垂直的判定 教学设计.docx

2．3.2　平面与平面垂直的判定 　预习课本P67～69，思考并完成以下问题 1．二面角的定义、表示分别是怎样的？ 2．二面角的平面角的定义、范围分别是怎样的？ 3．面面垂直是怎样定义的？ 4．面面垂直的判定定理的内容是什么？ 　　　 eq \a\vs4\al([新知初探]) 1．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面． 记法：α-AB-β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P-AB-Q；当棱记为l时，可记作α-l-β或P-l-Q. (2)二面角的平面角： ①定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． ②直二面角：平面角是直角的二面角． [点睛]　二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 2．平面与平面垂直 (1)面面垂直的定义 ①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②画法： 记作：α⊥β. (2)两平面垂直的判定定理： ①文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． ②图形语言：如图． ③符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB?α?α⊥β. [点睛]　定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线． eq \a\vs4\al([小试身手]) 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直(　　) (2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°(　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是(　　) A．AO⊥BO，AO?α，BO?β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO?α，BO?β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β 答案：D 3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是(　　) A．m⊥n，m∥α，n∥β　　　　 B．m⊥n，α∩β＝m，n?β C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：选C　A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C.  面面垂直的判定 [典例]　如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. 证明：平面AEC⊥平面AFC. [证明]　如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq \r(3). 由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝eq \r(3)，且EG⊥AC. 在Rt△EBG中，可得BE＝eq \r(2)，故DF＝eq \f(\r(2),2). 在Rt△FDG中，可得FG＝eq \f(\r(6),2). 在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝eq \r(2)，DF＝eq \f(\r(2),2)， 可得EF＝eq \f(3\r(2),2). 从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG. 又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC. 因为EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC. (1)证明平面与平面垂直的方法： ①利用定义：证明二面角的平面角为直角； ②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的