高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 专题6 不等式 （学生版+解析版）.docx

试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 【高中数学竞赛真题?强基计划真题考前适应性训练】 专题06 不等式 真题专项训练 （全国竞赛+强基计划专用） 一、单选题 1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x，y，z，w满足和，则的最小值等于（????） A． B． C．1 D．前三个答案都不对 2．（2021·北京·高三强基计划）已知，且，则的最小值是（????） A． B． C．417 D．以上答案都不对 3．（2021·北京·高三强基计划）若a，b，c为非负实数，且，则的最小值为（????） A．3 B．5 C．7 D．以上答案都不对 二、填空题 4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角中，的最小值是_________． 5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足，则的最小值为________． 6．（2022·浙江·高二竞赛）设a，b，c，，，则的最小值为______. 7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足，则最大值为_________． 8．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设，则当_______时，取到最大值． 三、解答题 9．（2023·全国·高三专题练习）设，满足又设满足，证明： 10．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个实系数非零多项式，且存在实数使得记，证明： 11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a，b，，求证：. 12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数，使得存在实数满足． 13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x，y，z满足，证明：； （2）若2023个实数满足，求的最大值． 14．（2021·全国·高三竞赛）设m为正整数，且，求所有的实数组，使得，对所有成立． 15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有． 16．（2021·全国·高三竞赛）已知证明：存在，使得. 17．（2021·全国·高三专题练习）已知：，，.求证：. 18．（2021·全国·高三专题练习）已知a，b为正数，且，证明. 19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设皆为正数，且满足，证明： 20．（2023·全国·高三专题练习）实数和正数使得有三个实数根．且满足：（1）；（2），求的最大值. 21．（2021·全国·高三竞赛）设，记：，其中求和是对1，2，…，n的所有个k元组合进行的，求证：． 22．（2021·全国·高三竞赛）已知，且满足，求的最大值. 23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足．证明：． 24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列定义为，．证明，存在正整数，使得． 25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数．求最大的实数．使得对任意正实数恒成立，其中． 26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC中，求证：. 27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数，满足，求证：． 28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数，证明：. 29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数满足，求的最小值. 30．（2021·浙江·高二竞赛）设，，，， 证明. 试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 【高中数学竞赛真题?强基计划真题考前适应性训练】 专题06 不等式 真题专项训练 （全国竞赛+强基计划专用） 一、单选题 1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x，y，z，w满足和，则的最小值等于（????） A． B． C．1 D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求最小值，从而可得正确的选项. 【详解】根据题意，有， 等号当时取得，因此所求最小值为． 故选：D. 2．（2021·北京·高三强基计划）已知，且，则的最小值是（????） A． B． C．417 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据题设条件可设，利用柯西不等式可求最小值. 【详解】由可得， 由对称性可设，则条件即即， 从而， 根据柯西不等式  ， 等号当时取得．因此所求最小值为． 故选：A. 3．（2021·北京·高三强基计划）若a，b，c为非负实数，且，则的最小值为（????） A．3 B．5 C．7 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】利用非负性可求最小值. 【详解】根据题意， 有， 等号当时可以取得，因此所求最小值为5． 故选：B. 二、填空题 4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角中，的最小值是_________． 【答案】 【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值. 【详解】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：， 于是 ， 等号当时取得，因此所求最小值